振動数$f_{0}[\rm Hz]$の音源をもった青の人と，観測者である緑の人と反射板をもっている赤の人がいる．
一直線上の運動のみを考えるとき，次の各々の場合について，反射板によって反射した音を緑の人（観測者）が観測する振動数$f[\rm Hz]$を計算せよ．
ただし，音速は$V[\rm m/s]$で一定であり，風は吹いていないものとする．
(1) 音源をもった青の人が右方向に速さ$v[\rm m/s]$で動き，観測者である緑の人が静止していて，反射板をもった赤い人が左方向に速さ$w[\rm m/s]$で動くとき．
(2) 音源をもった青の人が静止していて，観測者である緑の人が左方向に速さ$u[\rm m/s]$で動き，反射板をもった赤い人が右方向に速さ$w[\rm m/s]$で動くとき．
(3) 音源をもった青の人が右方向に速さ$v[\rm m/s]$で動き，観測者である緑の人が右方向に速さ$u[\rm m/s]$で動いて，反射板をもった赤い人が左方向に速さ$w[\rm m/s]$で動くとき．
観測者が観測する振動数$f[\rm Hz]$は「$1 \rm s$間で観測者が受け取る波の数」を意味する．
波の数は次のように表すことができる．
波の波長を$\lambda$（波1個分の長さ），波の個数を$N$，波全体の長さを$\Delta L$とすると，次の関係式が成り立つ．
$\Delta L=N\cdot \lambda$
$\therefore N=\dfrac{\Delta L}{\lambda}$
このことから，
$f=\dfrac{1{\rm s}で受け取る波の長さ }{波の波長}$
で観測者が観測する振動数を求める．
以下，音源の振動数を$f_{0}$，音速を$V[\rm m/s]$，音源の速さを$v[\rm m/s]$，観測者の速さを$u[\rm m/s]$とする．
★ $1\rm s$で受けとる波の長さ
① 観測者が動かないとき→ $V\cdot 1$
② 観測者が音源に向かっているとき→ $(V+u)\cdot 1$
③ 観測者が音源から遠ざかっているとき→ $(V-u)\cdot 1$
★ 波の波長
① 音源が動かないとき→ $\dfrac{V}{f_{0}}$
② 音源の進行方向の波長→ $\dfrac{V-v}{f_{0}}$
① 音源の進行方向と逆の波長→ $\dfrac{V+v}{f_{0}}$
反射板の問題は次のように2段階で考えます．
① まずは，反射板で受け取る振動数$f_{1}$を求める．
② 反射板が①で受けとった振動数を出す新たな音源としてドップラー効果を考える．
(1)
まずは，反射板が受け取る振動数$f_{1}$を求めます．
音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は
$\lambda^{\prime}=\dfrac{V-v}{f_{0}}$
になります．
また，反射板が$1\rm s$で受け取る波の長さ$L$は
$L=(V+w)\cdot 1$
したがって，反射板が受け取る振動数$f_{1}$は
$\eqalign{f_{1}&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V+w}{\dfrac{V-v}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V+w}{V-v}f_{0}}$
次に，振動数$f_{1}$で反射板が音を出し，観測者に音を届けると考えます．
反射板前方の波長$\lambda_{1}$は
$\lambda_{1}=\dfrac{V-w}{f_{1}}$
になります．
また，観測者が$1 \rm s$で受け取る波の長さ$L_{1}$は
$L_{1}=V\cdot 1$
です．したがって，観測者が受け取る振動数$f$は
$\eqalign{f&=\dfrac{L_{1}}{\lambda_{1}}\\&=\dfrac{V}{\dfrac{V-w}{f_{1}}}\\&=\dfrac{V}{V-w}f_{1}\\&=\dfrac{V}{V-w}\cdot\dfrac{V+w}{V-v}f_{0}[\rm Hz] }$ (答)
(2)
まずは，反射板が受け取る振動数$f_{1}$を求めます．
音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は
$\lambda^{\prime}=\dfrac{V}{f_{0}}$
になります．
また，反射板が$1\rm s$で受け取る波の長さ$L$は
$L=(V-w)\cdot 1$
したがって，反射板が受け取る振動数$f_{1}$は
$\eqalign{f_{1}&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V-w}{\dfrac{V}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V-w}{V}f_{0}}$
次に，振動数$f_{1}$で反射板が音を出し，観測者に音を届けると考えます．
反射板前方の波長$\lambda_{1}$は
$\lambda_{1}=\dfrac{V+w}{f_{1}}$
になります．
また，観測者が$1 \rm s$で受け取る波の長さ$L_{1}$は
$L_{1}=(V-u)\cdot 1$
です．したがって，観測者が受け取る振動数$f$は
$\eqalign{f&=\dfrac{L_{1}}{\lambda_{1}}\\&=\dfrac{V-u}{\dfrac{V+w}{f_{1}}}\\&=\dfrac{V-u}{V+w}f_{1}\\&=\dfrac{V-u}{V+w}\cdot\dfrac{V-w}{V}f_{0} [\rm Hz]}$ (答)
(3)
まずは，反射板が受け取る振動数$f_{1}$を求めます．
音源の前方の波長$\lambda^{\prime}$は
$\lambda^{\prime}=\dfrac{V-v}{f_{0}}$
になります．
また，反射板が$1\rm s$で受け取る波の長さ$L$は
$L=(V+w)\cdot 1$
したがって，反射板が受け取る振動数$f_{1}$は
$\eqalign{f_{1}&=\dfrac{L}{\lambda^{\prime}}\\&=\dfrac{V+w}{\dfrac{V-v}{f_{0}}}\\&=\dfrac{V+w}{V-v}f_{0}}$
次に，振動数$f_{1}$で反射板が音を出し，観測者に音を届けると考えます．
反射板前方の波長$\lambda_{1}$は
$\lambda_{1}=\dfrac{V-w}{f_{1}}$
になります．
また，観測者が$1 \rm s$で受け取る波の長さ$L_{1}$は
$L_{1}=(V+u)\cdot 1$
です．したがって，観測者が受け取る振動数$f$は
$\eqalign{f&=\dfrac{L_{1}}{\lambda_{1}}\\&=\dfrac{V+u}{\dfrac{V-w}{f_{1}}}\\&=\dfrac{V+u}{V-w}f_{1}\\&=\dfrac{V+u}{V-w}\cdot\dfrac{V+w}{V-v}f_{0}[\rm Hz] }$ (答)
コメント
[…] […]