[干渉問題]位相差演習4 屈折率が異なる

波動
問題

波源$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$があり,波源$\rm S_{1}$では時刻$t$において,$y_{1}=A\sin\left(2\pi ft\right)$で振動していて,波源$\rm S_{2}$では,$y_{2}=A\sin\left(2\pi ft\right)$で振動している.ただし,$A$は振幅,$f$は振動数であり,どちらも正の定数である.${\rm S_{1}P}=l_{1}$,${\rm S_{2}P}=l_{2}$であるような点$\rm P$がある.このとき,次の問いに答えよ.ただし,$\rm S_{1}P$の経路の媒質と$\rm S_{2}P$の経路の媒質は異なり,$\rm S_{1}P$経路の媒質に対する$\rm S_{2}P$経路の媒質の相対屈折率を$n$とし,$\rm S_{1}P$経路を伝わる波の波長を$\lambda$とする.

(1) $\rm S_{1}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の変位と$\rm S_{2}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の変位の位相差$\varDelta \varphi$を$\lambda$,$n$,$l_{1}$,$l_{2}$を用いて表せ.

(2) 2つの波が強め合うときの条件を整数$k$および,$l_{1}$,$l_{2}$,$\lambda$,$n$を用いてかけ.

(3) 2つの波が弱め合うときの条件を整数$k$および,$l_{1}$,$l_{2}$,$\lambda$,$n$を用いてかけ.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

波が伝わる速さを$V_{1}$とすると,$\rm S_{1}$から$\rm P$に伝わる波において,$\rm P$で媒質の変位は,時間$\dfrac{l_{1}}{V_{1}}$前の$\rm S_{1}$での振動と等しいんだよね.

したがって,媒質の変位$y_{1\rm P}$は

$y_{1\rm P}=A\sin\left\{2\pi f\left(t-\dfrac{l_{1}}{V_{1}}\right) \right\}$

NEKO
NEKO

このとき,位相$\varphi_{1}$は,波の基本式,$V_{1}=f\lambda$も用いると次のようになります.

$\varphi_{1}=2\pi f\left(t-\dfrac{l_{1}}{V_{1}}\right)=2\pi ft-\dfrac{2\pi }{\lambda}l_{1}$

屈折の法則

速さ$v_{1}$,波長$\lambda_{1}$の波が入射角$\theta_{1}$で屈折面に入射し,その後屈折角が$\theta_{2}$,速さ$v_{2}$,波長が$\lambda_{2}$となった.入射側の媒質の屈折率を$n_{1}$,屈折する側の媒質の屈折率を$n_{2}$とすると,次の関係が成り立つ.

$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}$

また,屈折により,媒質の振動数$f$および周期$T$は変化しないことから,次のことが成り立つ.

$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\cancel{f}\lambda_{1}}{\cancel{f}\lambda_{2}}=\dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$

一方,屈折率との関係は次のようになる.

$n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}$

$n_{1}v_{1}=n_{2}v_{2}$

$n_{1}\lambda_{1}=n_{2}\lambda_{2}$

最後に,$n_{12}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}$屈折率$n_{1}$の媒質に対する屈折率$n_{2}$の媒質の相対屈折率という.

NEKO
NEKO

屈折の法則により,$\rm S_{2}P$経路に伝わる波の波長$\lambda_{2}$を計算しましょう.

$\rm S_{1}P$経路の媒質に対する$\rm S_{2}P$経路の相対屈折率が$n$なので,

★ 屈折の法則

$1\cdot \lambda=n\lambda_{2}$

$\therefore \lambda_{2}=\dfrac{\lambda}{n}$

NEKO
NEKO

$\rm S_{2}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の位相$\varphi_{2}$は,波が伝わる速さを$V_{2}$として,

$\eqalign{\varphi_{2}&=2\pi f\left(t-\dfrac{l_{2}}{V_{2}}\right)\\&=2\pi ft-\dfrac{2\pi }{\lambda_{2}}l_{2}\\&=2\pi ft-\dfrac{2\pi}{\dfrac{\lambda}{n}}l_{2}\\&=2\pi ft-\dfrac{2\pi n}{\lambda}l_{2}}$

NEKO
NEKO

したがって,位相差$\varDelta \varphi$は

$\varDelta \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}=\dfrac{2\pi}{\lambda}\left(nl_{2}-l_{1}\right)$ (答)

(2)

NEKO
NEKO

強め合うのは,$\varDelta \varphi$が$2\pi$の整数倍になるときなので

$\varDelta \varphi=2\pi k$

$\therefore \dfrac{2\pi}{\lambda}\left(nl_{2}-l_{1}\right)=2\pi k$ (答)

NEKO
NEKO

上の強め合いの条件は

$nl_{2}-l_{1}=k\lambda$

のようにもかくことができます.

(3)

NEKO
NEKO

弱め合うのは,$\varDelta \varphi$が$\pi$の奇数倍のときなので

$\varDelta \varphi=(2k-1)\pi$

$\dfrac{2\pi}{\lambda}\left(nl_{2}-l_{1}\right)=(2k-1)\pi$ (答)

NEKO
NEKO

弱め合いの条件は次のようにも変形できます.

$nl_{2}-l_{1}=\left(k-\dfrac{1}{2}\right)\lambda$

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