[干渉問題]位相差演習4 屈折率が異なる | Physicmath（フィジクマス）

PHYさん

前回の内容はこちらです．

問題

波源$\rm S_{1}$，$\rm S_{2}$があり，波源$\rm S_{1}$では時刻$t$において，$y_{1}=A\sin\left(2\pi ft\right)$で振動していて，波源$\rm S_{2}$では，$y_{2}=A\sin\left(2\pi ft\right)$で振動している．ただし，$A$は振幅，$f$は振動数であり，どちらも正の定数である．${\rm S_{1}P}=l_{1}$，${\rm S_{2}P}=l_{2}$であるような点$\rm P$がある．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$\rm S_{1}P$の経路の媒質と$\rm S_{2}P$の経路の媒質は異なり，$\rm S_{1}P$経路の媒質に対する$\rm S_{2}P$経路の媒質の相対屈折率を$n$とし，$\rm S_{1}P$経路を伝わる波の波長を$\lambda$とする．

(1) $\rm S_{1}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の変位と$\rm S_{2}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の変位の位相差$\varDelta \varphi$を$\lambda$，$n$，$l_{1}$，$l_{2}$を用いて表せ．

(2) 2つの波が強め合うときの条件を整数$k$および，$l_{1}$，$l_{2}$，$\lambda$，$n$を用いてかけ．

(3) 2つの波が弱め合うときの条件を整数$k$および，$l_{1}$，$l_{2}$，$\lambda$，$n$を用いてかけ．

＜解答＞

(1)

NEKO

波が伝わる速さを$V_{1}$とすると，$\rm S_{1}$から$\rm P$に伝わる波において，$\rm P$で媒質の変位は，時間$\dfrac{l_{1}}{V_{1}}$前の$\rm S_{1}$での振動と等しいんだよね．

したがって，媒質の変位$y_{1\rm P}$は

$y_{1\rm P}=A\sin\left\{2\pi f\left(t-\dfrac{l_{1}}{V_{1}}\right) \right\}$

NEKO

このとき，位相$\varphi_{1}$は，波の基本式，$V_{1}=f\lambda$も用いると次のようになります．

$\varphi_{1}=2\pi f\left(t-\dfrac{l_{1}}{V_{1}}\right)=2\pi ft-\dfrac{2\pi }{\lambda}l_{1}$

屈折の法則

速さ$v_{1}$，波長$\lambda_{1}$の波が入射角$\theta_{1}$で屈折面に入射し，その後屈折角が$\theta_{2}$，速さ$v_{2}$，波長が$\lambda_{2}$となった．入射側の媒質の屈折率を$n_{1}$，屈折する側の媒質の屈折率を$n_{2}$とすると，次の関係が成り立つ．

$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}$

また，屈折により，媒質の振動数$f$および周期$T$は変化しないことから，次のことが成り立つ．

$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\cancel{f}\lambda_{1}}{\cancel{f}\lambda_{2}}=\dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$

一方，屈折率との関係は次のようになる．

$n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}$

$n_{1}v_{1}=n_{2}v_{2}$

$n_{1}\lambda_{1}=n_{2}\lambda_{2}$

最後に，$n_{12}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}$を屈折率$n_{1}$の媒質に対する屈折率$n_{2}$の媒質の相対屈折率という．

NEKO

屈折の法則により，$\rm S_{2}P$経路に伝わる波の波長$\lambda_{2}$を計算しましょう．

$\rm S_{1}P$経路の媒質に対する$\rm S_{2}P$経路の相対屈折率が$n$なので，

★　屈折の法則

$1\cdot \lambda=n\lambda_{2}$

$\therefore　\lambda_{2}=\dfrac{\lambda}{n}$

NEKO

$\rm S_{2}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の位相$\varphi_{2}$は，波が伝わる速さを$V_{2}$として，

$\eqalign{\varphi_{2}&=2\pi f\left(t-\dfrac{l_{2}}{V_{2}}\right)\\&=2\pi ft-\dfrac{2\pi }{\lambda_{2}}l_{2}\\&=2\pi ft-\dfrac{2\pi}{\dfrac{\lambda}{n}}l_{2}\\&=2\pi ft-\dfrac{2\pi n}{\lambda}l_{2}}$

NEKO

したがって，位相差$\varDelta \varphi$は

$\varDelta \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}=\dfrac{2\pi}{\lambda}\left(nl_{2}-l_{1}\right)$　（答）

(2)

NEKO

強め合うのは，$\varDelta \varphi$が$2\pi$の整数倍になるときなので

$\varDelta \varphi=2\pi k$

$\therefore　\dfrac{2\pi}{\lambda}\left(nl_{2}-l_{1}\right)=2\pi k$　(答)

NEKO

上の強め合いの条件は

$nl_{2}-l_{1}=k\lambda$

のようにもかくことができます．