対称性のある回路の合成抵抗3

演習問題
問題

上図のような正四面体があり,AB,BC,BD,ADには抵抗値$R$の抵抗が,CE,DEには抵抗値$\dfrac{R}{2}$の抵抗がある.

このとき,AE間の合成抵抗を求めよ.

オームの法則

抵抗に流れる電流が$I$,電圧を$V$,抵抗値を$R$とするとき,

$V=RI$

が成り立つ.

合成抵抗を求めるときは,$\dfrac{V}{I}$を計算する.

PHYさん
PHYさん

上図のように電流を設定しましょう.

対称性から,ACとADには同じ電流$i$が流れると考えます.

AB部分の電流は$I$としましょう.Bに到達した電流は,やはり対称性から,BC部分に$\dfrac{I}{2}$,BD部分に$\dfrac{I}{2}$の電流が流れます.

さらに,キルヒホッフ第1法則より,CE部分とDE部分にはそれぞれ,$i+\dfrac{I}{2}$が流れてEから$2i+I$の電流が出ていきます.

Eの電位を$0$としたときのAの電位を$V$として,求める合成抵抗は

$\dfrac{V}{2i+I}$

です.

★ A→B→C→Eの電圧降下の式

$V-RI-R\cdot \dfrac{I}{2}-\dfrac{R}{2}\cdot \left(i+\dfrac{I}{2}\right)=0$

$\therefore \dfrac{7}{4}I+\dfrac{1}{2}i=\dfrac{V}{R}$ $\dots (\ast)$

★ A→C→Eの電圧降下の式

$V-Ri-\dfrac{R}{2}\cdot \left(i+\dfrac{I}{2}\right)=0$

$\therefore \dfrac{1}{4}I+\dfrac{3}{2}i=\dfrac{V}{R}$ $\dots (2\ast)$

$(\ast)$,$(2\ast)$より

$I=\dfrac{2V}{5R}$,$i=\dfrac{3V}{5R}$

$2i+I=\dfrac{8V}{5R}$より,求める合成抵抗は,$\dfrac{V}{2i+I}=\dfrac{5}{8}R$ (答)

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