対称性のある回路の合成抵抗4

演習問題
問題

抵抗値$R$の15個の抵抗を使って上図のような回路を作った.

このとき,AE間の合成抵抗を$R$を用いて表せ.

<解答>

オームの法則

抵抗に流れる電流が$I$,電圧を$V$,抵抗値を$R$とするとき,

$V=RI$

が成り立つ.

合成抵抗を求めるときは,$\dfrac{V}{I}$を計算する.

NEKO
NEKO

対称性を考慮して,電流を設定します.

Aから流入した電流は左右に大きさ$i$の電流に分かれたとします.

さらに,Bにて左に$j$,右に$i-j$の電流が流れます.

Cには,左からくる電流$i-j$と右からくる電流$i-j$が合流してCE間には$2i-2j$の電流が流れます.

Eには,左から$j$右から$j$,上から$2i-2j$の電流が流れて,$2i$の電流として出ていきます.

Eでの電位を$0$,Aでの電位を$V$として,次の経路のキルヒホッフ則を立てましょう.

★ A→B→D→E経路のキルヒホッフ則

$V-Ri\times 2-Rj\times 4=0$

$\therefore 2i+4j=\dfrac{V}{R}$ $\dots (\ast)$

★ A→B→C→E経路のキルヒホッフ則

$V-Ri\times 2-R(i-j)-R(2i-2j)=0$

$\therefore 5i-3j=\dfrac{V}{R}$ $\dots (2\ast)$

$(\ast)$,$(2\ast)$より,$i=\dfrac{7V}{26R}$,$j=\dfrac{3V}{26R}$

したがって,Aに流れ込みEから出ていく電流は$2i=\dfrac{7V}{13R}$

もとめる合成抵抗は,$\dfrac{V}{2i}=\dfrac{26}{7}R$(答)

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