今回は,ディーゼルエンジンにも関係する,ディーゼルサイクルを扱います.
さっそく問題をみてみましょう.
<解答>
(1)
● $T_{\rm A}$と$T_{\rm B}$
$T_{\rm A}$と$T_{\rm B}$の大小関係は熱力学第一法則を利用してみましょう.
★ 過程AからBの熱力学第一法則
断熱変化であるから,熱量$Q_{\rm AB}=0$.したがって
$\Delta U_{\rm AB}=Q_{\rm AB}-W_{\rm AB}=0-W_{\rm AB}$
ここで,AからBは体積が膨張しているから,気体は正の仕事をしているね.
だから,上の式より$\Delta U_{\rm AB}<0$となります.
内部エネルギーの変化の正負と温度変化の正負は一致するだったよね.(下を参照)
内部エネルギーの変化が負であることから,温度が下がることがわかります.
したがって,$T_{\rm A}>T_{\rm B}$
● $T_{\rm B}$と$T_{\rm C}$
$T_{\rm B}$と$T_{\rm C}$については,$pV$グラフの面積を利用しましょう.
緑の長方形の面積より,青の長方形の面積の方が大きいね.
したがって$T_{\rm B}>T_{\rm C}$
● $T_{\rm C}$と$T_{\rm D}$
こちらも熱力学第一法則を利用しましょう.
★ 過程CからDの熱力学第一法則
断熱変化なので,$Q_{\rm CD}=0$.
$\Delta U_{\rm CD}=0-W_{\rm CD}>0$
CからDまでは体積が減少しているから,気体がした仕事は負だね.
だから,$-W_{\rm CD}>0$となって,内部エネルギーの変化も正になるよ.
つまり,温度が上昇するんだね.
したがって,$T_{\rm C}<T_{\rm D}$
● $T_{\rm D}$と$T_{\rm A}$
過程DからAも面積で判断しましょう.
緑の面積より,青の面積の方が大きいから,$T_{\rm D}<T_{\rm A}$
(2)
断熱過程や等温過程の気体がした仕事は$pV$グラフの面積で計算するのが大変だね.
そこで,熱力学第一法則を利用して,気体がした仕事$W_{\rm AB}$を求めます.
過程AからBの熱力学第一法則より
$Q_{\rm AB}=\Delta U_{\rm AB}+W_{\rm AB}$
断熱過程であるから,$Q_{\rm AB}=0$より
$W_{\rm AB}=-\Delta U_{\rm AB}$ $\dots (\ast)$
また,単原子分子理想気体の内部エネルギーの式より,物質量が$1\rm mol$であることも考慮して
$\Delta U_{\rm AB}=\dfrac{3}{2}R(T_{\rm B}-T_{\rm A})$ $\dots (2\ast)$
$(2\ast)$を$(\ast)$に代入して
$W_{\rm AB}=-\dfrac{3}{2}R(T_{\rm B}-T_{\rm A})=\dfrac{3}{2}R(T_{\rm A}-T_{\rm B})$
したがって,答えは
$W_{\rm AB}=\dfrac{3}{2}R(T_{\rm A}-T_{\rm B})[\rm J]$
です.
このように,$W_{\rm AB}$が正であることがわかるように変形しておくとよいでしょう.
(3)
同様にして内部エネルギーの式と熱力学第一法則を使って,熱量$Q_{\rm BC}$を求めます.
★ 内部エネルギーの式より
$\Delta U_{\rm BC}=\dfrac{3}{2}R(T_{\rm C}-T_{\rm B})=-\dfrac{3}{2}R(T_{\rm B}-T_{\rm C})$ $\dots (3\ast)$
★ 熱力学第一法則
定積変化であるから,$W_{\rm BC}=0$であることを考慮して
$Q_{\rm BC}=\Delta U_{\rm BC}+W_{\rm BC}=-\dfrac{3}{2}R(T_{\rm B}-T_{\rm C})$
答えは$Q_{\rm BC}=-\dfrac{3}{2}R(T_{\rm B}-T_{\rm C})[\rm J]$
(4)
★ 内部エネルギーの式より
$\Delta U_{\rm CD}=\dfrac{3}{2}R(T_{\rm D}-T_{\rm C})$
★ 熱力学第一法則
断熱過程であるから,$Q_{\rm CD}=0$であることも考慮して
$0=\Delta U_{\rm CD}+W_{\rm CD}$
$\therefore W_{\rm CD}=-\Delta U_{\rm CD}=-\dfrac{3}{2}R(T_{\rm D}-T_{\rm C})$
答えは,$W_{\rm CD}=-\dfrac{3}{2}R(T_{\rm D}-T_{\rm C})[\rm J]$
(5)
DからAの気体がした仕事は,直線と$V$軸で囲まれた面積で計算できます.
上図の青色部分の面積$S$は,D,Aの圧力を$p$,体積の変化を$\Delta V$とすると,
$S=p\Delta V$
だね.ただ,$p$や$\Delta V$は問題文に書かれていないから,状態方程式で変形すると
$S=p\Delta V=1\cdot R\Delta T=R(T_{\rm A}-T_{\rm D})$
となります.
したがって,$W_{\rm DA}=R(T_{\rm A}-T_{\rm D})[\rm J]$
★ 内部エネルギーの式より
$\Delta U_{\rm DA}=\dfrac{3}{2}R(T_{\rm A}-T_{\rm D})$
★ 熱力学第一法則より
$\eqalign{Q_{\rm DA}&=\Delta U_{\rm DA}+W_{\rm DA}\\&=\dfrac{3}{2}R(T_{\rm A}-T_{\rm D})+R(T_{\rm A}-T_{\rm D})\\&=\dfrac{5}{2}R(T_{\rm A}-T_{\rm D})}$
したがって,$Q_{\rm DA}=\dfrac{5}{2}R(T_{\rm A}-T_{\rm D})[\rm J]$
問題が多くて大変だったけど,熱力学第一法則や内部エネルギーの式の計算練習にはちょうどいいね.
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