[演習]ニュートン環1 経路差を求める.

分野別
NEKO
NEKO

今回はニュートン環の問題です.

経路差を求める際に近似式を使うので,慣れておきましょう.

高校物理でよく使う近似式①

$|\alpha|\ll1$のとき

$(1+\alpha)^n\fallingdotseq 1+n\alpha$

NEKO
NEKO

問題文では

$a\ll b$ や $b$ は $a$ に比べて十分大きい

のような表現をします.これを

$\dfrac{a}{b}\ll1$

として,小さい数を作りましょう.このとき,$\alpha =\dfrac{a}{b}$と対応します.

さて,問題です!

問題

図のように,厚い平面ガラス板の上に平凸レンズを置く.レンズは中心の位置Oでガラス板と接触していて,ガラス板の平面とレンズの平面は平行になっている.レンズの平面側の上方から波長$\lambda$の単色光を平面に直角に照射して,レンズの平面側から眺める.すると,光の明暗の線が同心円状に交互に観測される.レンズの中心線からの距離を$r$,その位置でのレンズとガラス板の間の空気層の厚みを$d$とする.レンズの曲面は中心を$\rm O^{\prime}$とする曲率半径$R$の球面の一部とみなす.空気に対するレンズおよびガラス板の屈折率を$n$とし,$R$は,$r$に比べて十分大きいとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1) $d$を$R$,$r$を用いて表せ.ただし,この問いでは,近似をしなくてもよい.

(2) $|\alpha|\ll1$のとき,$(1+\alpha)^{n}\fallingdotseq1+n\alpha$の近似式を使って,$d$を$R$,$r$を用いて表せ.

<解答>

(1) 

NEKO
NEKO

Aから線分$\rm OO^{\prime}$に垂線を下し,その交点をHとします.

$\rm \bigtriangleup AO^{\prime}H$について,三平方の定理より

$(R-r)^{2}+r^{2}=R^{2}$

$d=R-\sqrt{R^{2}-r^{2}}$(答) $(\because R>d)$

(2) 

NEKO
NEKO

(1)の結果を近似式を使って計算しましょう.

高校物理でよく使う近似式①

$|\alpha|\ll1$のとき

$(1+\alpha)^n\fallingdotseq 1+n\alpha$

$\eqalign{d&=R-R\sqrt{1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^{2}}\\&\fallingdotseq R-R\left\{1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{r}{R}\right)^{2}\right\}\\&=\dfrac{r^{2}}{2R}}$

NEKO
NEKO

したがって,答えは,$d=\dfrac{r^{2}}{2R}$(答)

コメント

  1. […] […]

  2. […] 経路差は$2d=dfrac{r^{2}}{R}$です.(こちらでで確認してください.) […]