twitterの解答58 2023年慶應理工と千葉で出題された2物体の運動（基本）

形は少し違うけど，今年の慶應理工と千葉で出題された基本問題． pic.twitter.com/cdmnSSdkK2
— フィジクマス (@physicmath2) March 2, 2023

<問題>

<解答>

まずは，標準的な解法から紹介します。

小球と台を対象物体にすると水平方向の力の和は$0$なので，水平方向の運動量が保存します．

また，台と床，台と小球の間には摩擦力ははたらかず，その他の外力も仕事をしていないので，台と小球を対象物体としたときの力学的エネルギーが保存します．（小球だけでは力学的エネルギーは保存しません．）

小球が再びAにもどってきたときの小球の速度と台の速度(速さではない)をそれぞれ$v，V$として，運動量保存則，力学的エネルギー保存則を立てて

\begin{align} \begin{cases} mv_{0}=mv+MV　&\cdots (\ast)\\ \dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}　&\cdots (2\ast)　 \end{cases} \end{align}

$(\ast)$より，$V=\dfrac{m(v_{0}-v)}{M}　\cdots (3\ast)$として，$(2\ast)$に代入すると

\begin{align} \cancel{\dfrac{1}{2}}mv_{0}^{2}&=\cancel{\dfrac{1}{2}}mv^{2}+\cancel{\dfrac{1}{2}}M\left(\dfrac{m(v_{0}-v)^{2}}{M}\right)\\ \cancel{m}v_{0}^{2}&=\cancel{m}v^{2}+\dfrac{m^{\cancel{2}}(v_{0}^{2}-2v_{0}v+v^{2})}{M} \end{align}

両辺$M$をかけて

\begin{align} &Mv_{0}^{2}=Mv^{2}+mv_{0}^{2}-2mv_{0}v+mv^{2}\\ &\therefore\,\, (M+m)v^{2}-2mv_{0}v+(m-M)v_{0}^{2}=0\\ &\therefore\,\,\left\{(M+m)v-(m-M)v_{0}\right\}(v-v_{0})=0 \end{align}

したがって，$v=\dfrac{m-M}{M+m}v_{0}$または$v=v_{0}$だが，$v=v_{0}$だと$(3\ast)$に代入したとき$V=0$になってしまう．小球が曲面上にあるとき，台は小球に常に右方向に力を加えられているため，正の運動量を持っているはず．したがって，$V>0$．したがって，$v=\dfrac{m-M}{M+m}v_{0}$(答)(本当はこの$V>0$を調べていないので，この段階では断定できない．)

ちなみに，$m$と$M$の大小で$v$の速度の方向がかわる．$v=\dfrac{m-M}{M+m}v_{0}$を$(3\ast)$に代入して

\begin{align} V&=\dfrac{m}{M}\left(v_{0}-v\right)\\ &=\dfrac{m}{M}\left(v_{0}-\dfrac{m-M}{M+m}v_{0}\right)\\ &=\dfrac{mv_{0}}{M}\times \dfrac{M+m-(m-M)}{M+m}\\ &=\dfrac{2mv_{0}}{M+m} \end{align}

したがって，$V=\dfrac{2mv_{0}}{M+m}$(答)

＜別解＞

小球が曲面をのぼり，おりてくるときに力学的エネルギーが保存しています．これを弾性衝突として考え，問題を解くこともできます．