気体分子運動論 基礎の基礎2

演習問題

今回使う物理公式,法則

  • はね返り係数の式
  • 力積と運動量変化の関係
  • 作用・反作用の法則
はねかえり係数の式

衝突前の物体の速度を$v_{1}$,$v_{2}$,衝突後の速度を$v_{1}^{\prime}$,$v_{2}^{\prime}$とするとき,はねかえり係数(反発係数)の式を次のように定義する.

$e=-\dfrac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{v_{1}-v_{2}}$

$e=1$のときを(完全)弾性衝突といい,力学的エネルギーが保存する.

また,$e=0$のときを完全非弾性衝突という.

PHYさん
PHYさん

特に今回は動かない壁との完全弾性衝突を考えます.すると,上の公式において,$e=1$,$v_{2}=v_{2}’=0$として

$1=-\dfrac{v_{1}’-0}{v_{1}-0}$

$\therefore\,\, v_{1}’=-v_{1}$

となり,動かない壁との完全弾性衝突では,衝突後の向きが衝突前と逆になり,速度の大きさは衝突直前後で変化しない,ということがわかります.

運動量変化と力積の関係

$(質量)\times (速度)$を運動量という.また,力が一定のとき,$(力)\times (力を受けた時間)$を力積という.

運動方程式を変形することによって,次の関係式を得ることができる.

運動量変化$=$力積

PHYさん
PHYさん

運動量は(質量)$\times $(速さ)ではなく,(質量)$\times $(速度)であることに注意しましょう.

作用反作用の法則

物体Aが物体Bに力を及ぼしているとき,物体Bも物体Aに力を及ぼしている.それらの力は

  • 同じ大きさ
  • 力の作用線が一直線上
  • 力の向きは反対

である.これを「作用反作用の法則」という.

壁に与えられた力積や平均の力を求める問題

問題

図のように,質量$m$の物体が速さ$v_{x}$で静止している壁と垂直に完全弾性衝突をした.次の問いに答えよ.

(1) 衝突直後の物体の速さを求めよ.

(2) 物体が壁と1回衝突した際に壁から受けた力積の大きさを求めよ.

(3) 物体が壁と1回衝突した際に壁が物体から受けた力積の大きさを求めよ.

(4) $\varDelta t$の間に同質量の物体が同じ速さで$A$回衝突した.この間に壁が受けた力積の和を求めよ.

(5) (4)のとき,壁が受けた平均の力の大きさを求めよ.

<解答>

(1) 

PHYさん
PHYさん

さきほど考察したように,衝突直後の速さは変わらず,$v_{x}$

(答)のままです.

(2) 

PHYさん
PHYさん

力積を直接計算することはできません.(力の大きさも衝突時間もわからないので)

そこで,

(力積)$=$(運動量変化) こちら

を用いて計算をしていきたいと思います.

衝突前の速度を正の方向とすると,衝突後の速度は$-v_{x}$なので,運動量は$m\times (-v_{x})=-mv_{x}$.また,衝突前の速度は$v_{x}$なので,運動量は$mv_{x}$です.したがって,運動量変化は

運動量変化$=-mv_{x}-(mv_{x})=-2mv_{x}$

となります.

したがって,物体の受けた力積の大きさは$2mv_{x}$(答)

(3)

NEKO
NEKO

壁が受ける力積の大きさは「作用反作用の法則」を使えばいいね.

物体が$2mv_{x}$の大きさの力積を受けるんだから,壁も$2mv_{x}$(答)の大きさの力積を物体から受けることになるね.

(4)

NEKO
NEKO

(3)で考えたように,1回衝突すると壁は$2mv_{x}$の大きさの力積を受けるんだから,$A$回衝突したら

$2mv_{x}\times A$(答)

の大きさの力積を受けるね.

(5) 

PHYさん
PHYさん

最後に平均の力です.

(4)で$\varDelta t$の間に壁は$2mv_{x}\times A$の力積を受けることがわかりました.

力積$=$力$\times$時間

なので,平均の力の大きさを$F$として,

$2mv_{x}\times A=F\times \varDelta t$

$F=\dfrac{2mv_{x}A}{\varDelta t}$ (答)

と考えましょう.

NEKO
NEKO

文字の計算がわからなかったら,もう一度数値計算の問題を解いてみよう.

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