熱力学演習のはじまりです！
今回の内容は定圧変化．
熱力学の問題は，公式が多くて大変ですよね．
また，どのような変化なのかを判断するのが意外と難しいんです．
この熱力学演習シリーズでは，
・公式の立て方
・変化の見極め方
の話もしていきます．
それでは，問題がみていきましょう．
問題文には，番号が振ってあります．その番号の読み取り方も含めて解説していきます．
上図のように，水平な床の上に①断熱容器が固定されている．
また，②なめらかなに動く質量$m$で断面積$S$の熱を通さないピストンによって，③単原子分子理想気体が封入されている．
はじめ，単原子分子理想気体の体積は$V_{0}$，絶対温度は$T_{0}$であった．この状態を状態0とする．
断熱容器の底には，温度調節器があり，この温度調節器によって，単原子分子理想気体を④ゆっくりとあたためていったところ，ピストンは④ゆっくりと上昇し，単原子分子理想気体の体積が$2V_{0}$になったところで，温度調節器を止めた．
このときの状態を状態1とする．
大気圧を$p$とし，重力加速度の大きさを$g$とする．次の問いに答えよ．
(1) 状態0における，気体の圧力$p_{0}$を求めよ．
(2) 状態1における，気体の圧力$p_{1}$，絶対温度$T_{1}$をそれぞれ求めよ．
(3) 状態0から状態1の間に気体がした仕事$W$，内部エネルギーの変化$\Delta U$，気体が吸収した熱量$Q$をそれぞれ求めよ．
＜用語の解説＞
①断熱容器：熱を通さない容器．今回は温度調節器以外での熱の出入りはない．
②なめらかなに動く：摩擦力ははたらかない．
③単原子分子理想気体：定圧モル比熱が$\dfrac{3}{2}R$($R$は気体定数)となる．すなわち，次のことがいえる．
問題分に単原子分子理想気体とかいてあるときは，次のことを使うことができる．
定積モル比熱が$\dfrac{3}{2}R$である．すなわち
内部エネルギー$U$は
$U=\dfrac{3}{2}nRT=\dfrac{3}{2}pV$
内部エネルギーの変化$\Delta U$は
$\Delta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T=\dfrac{3}{2}(p_{2}V_{2}-p_{1}V{1})$
※$n$：物質量，$T$：絶対温度，$p$：圧力，$V$：体積
④ゆっくり：準静的変化を行う．すなわち，ピストンは常につり合いながら移動する．
物理の問題は，用語の中に深い意味が隠されているだね．
それでは，解答にいきましょう．
＜解答＞
熱力学の問題を解くときは，次の3つの式を立てることを心掛けるとよいでしょう．
- 可動部分のつり合いの式 → 力の情報が出てくる
- 理想気体の状態方程式（ボイルシャルルの法則）
- 熱力学第一法則 → エネルギーの情報が出てくる
(1)
まずは，
1.可動部分のつり合いの式
だね．
今回，動くのはピストンなので，ピストンのつり合いの式を立てます．
ピストンにはたらく力は，
重力：$mg$
大気がおす力：$pS$
単原子分子がおす力$p_{0}S$
があります．
★ ピストンのつり合いの式
$p_{0}S=pS+mg$
$\therefore$ $p_{0}=p+\dfrac{mg}{S}$
気体の圧力は，外部の力の情報によって決定するんだね．
もし，外部の力の情報が変化しなかったら，気体の圧力は変化しないよ．
今回は，重力$mg$は変化しないし，大気圧$p$も変化しないので，気体の圧力は変化しません．
このように，圧力が変化しないことを定圧変化といいます．
(2)
次に状態1に圧力$p_{1}$と絶対温度$T_{1}$をもとめます．
定圧変化なので，$p_{1}=p_{0}=p+\dfrac{mg}{S}$ですね．
そして，絶対温度は
2.理想気体の状態方程式（ボイルシャルルの法則）
を立てます．
理想気体について，物質量$n$が変化しないとき，気体の圧力を$p$，気体の体積を$V$，絶対温度を$T$とすると，
$\dfrac{pV}{T}=$一定
が成り立つ．（ボイル・シャルルの法則）
特に，温度が一定のとき
$pV=$一定（ボイルの法則）
圧力が一定のとき
$\dfrac{V}{T}=$一定（シャルルの法則）
が成り立つ．
定圧変化なので，シャルルの法則を立てます．
★ シャルルの法則
$\dfrac{V_{0}}{T_{0}}=\dfrac{2V_{0}}{T_{1}}$
$\therefore$ $T_{1}=2T_{0}$
(3)
気体がした仕事は$pV$グラフを利用しましょう．
定圧変化なので，縦軸が圧力$P$，横軸が体積$V$のグラフはヨコ線となりますね．
このとき，上図の青色部分の面積が気体がした仕事です．
つまり，気体がした仕事$W$は
$\eqalign{W&=p_{0}(2V_{0}-V_{0})\\&=(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}}$
さらに，内部エネルギーの変化$\Delta U$は
$\eqalign{\Delta U&=\dfrac{3}{2}(p_{1}\cdot 2V_{0}-p_{0}V_{0})\\&=\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}\\&=\dfrac{3}{2}(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}}$
内部エネルギーの変化を$\Delta U$，気体が吸収する熱量を$Q$，気体がした仕事を$W$とすると
$Q=\Delta U+W$
仕上げの熱量$Q$は
3.熱力学第一法則
を用いて，計算します．
★ 熱力学第一法則
$\eqalign{Q&=\Delta U+W\\&=\dfrac{3}{2}(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}+(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}\\&=\dfrac{5}{2}(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}}$
以上より，$W=(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}$，$\Delta U=\dfrac{3}{2}(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}$，$Q=\dfrac{5}{2}(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}$
これから様々なパターンの演習問題を解いていきましょう．
コメント
[…] […]