[熱力学演習]定圧変化

分野別
NEKO
NEKO

熱力学演習のはじまりです!

今回の内容は定圧変化.

熱力学の問題は,公式が多くて大変ですよね.

また,どのような変化なのかを判断するのが意外と難しいんです.

この熱力学演習シリーズでは,

公式の立て方

変化の見極め方

の話もしていきます.

それでは,問題がみていきましょう.

問題文には,番号が振ってあります.その番号の読み取り方も含めて解説していきます.

問題

上図のように,水平な床の上に①断熱容器が固定されている.

また,②なめらかなに動く質量$m$で断面積$S$の熱を通さないピストンによって,③単原子分子理想気体が封入されている.

はじめ,単原子分子理想気体の体積は$V_{0}$,絶対温度は$T_{0}$であった.この状態を状態0とする.

断熱容器の底には,温度調節器があり,この温度調節器によって,単原子分子理想気体を④ゆっくりとあたためいったところ,ピストンは④ゆっくりと上昇し,単原子分子理想気体の体積が$2V_{0}$になったところで,温度調節器を止めた.

このときの状態を状態1とする.

大気圧を$p$とし,重力加速度の大きさを$g$とする.次の問いに答えよ.

(1) 状態0における,気体の圧力$p_{0}$を求めよ.

(2) 状態1における,気体の圧力$p_{1}$,絶対温度$T_{1}$をそれぞれ求めよ.

(3) 状態0から状態1の間に気体がした仕事$W$,内部エネルギーの変化$\Delta U$,気体が吸収した熱量$Q$をそれぞれ求めよ.

<用語の解説>

①断熱容器:熱を通さない容器.今回は温度調節器以外での熱の出入りはない.

②なめらかなに動く:摩擦力ははたらかない.

③単原子分子理想気体:定圧モル比熱が$\dfrac{3}{2}R$($R$は気体定数)となる.すなわち,次のことがいえる.

単原子分子理想気体

問題分に単原子分子理想気体とかいてあるときは,次のことを使うことができる.

定積モル比熱が$\dfrac{3}{2}R$である.すなわち

内部エネルギー$U$は

$U=\dfrac{3}{2}nRT=\dfrac{3}{2}pV$

内部エネルギーの変化$\Delta U$は

$\Delta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T=\dfrac{3}{2}(p_{2}V_{2}-p_{1}V{1})$

※$n$:物質量,$T$:絶対温度,$p$:圧力,$V$:体積

④ゆっくり:準静的変化を行う.すなわち,ピストンは常につり合いながら移動する.

NEKO
NEKO

物理の問題は,用語の中に深い意味が隠されているだね.

それでは,解答にいきましょう.

<解答>

PHYさん
PHYさん

熱力学の問題を解くときは,次の3つの式を立てることを心掛けるとよいでしょう.

熱力学の問題を立てる3つの式
  1. 可動部分のつり合いの式 → 力の情報が出てくる
  2. 理想気体の状態方程式(ボイルシャルルの法則)
  3. 熱力学第一法則 → エネルギーの情報が出てくる

(1) 

NEKO
NEKO

まずは,

1.可動部分のつり合いの式

だね.

今回,動くのはピストンなので,ピストンのつり合いの式を立てます.

ピストンにはたらく力は,

重力:$mg$

大気がおす力:$pS$

単原子分子がおす力$p_{0}S$

があります.

★ ピストンのつり合いの式

$p_{0}S=pS+mg$

$\therefore$ $p_{0}=p+\dfrac{mg}{S}$

NEKO
NEKO

気体の圧力は,外部の力の情報によって決定するんだね.

もし,外部の力の情報が変化しなかったら,気体の圧力は変化しないよ.

今回は,重力$mg$は変化しないし,大気圧$p$も変化しないので,気体の圧力は変化しません.

このように,圧力が変化しないことを定圧変化といいます.

(2)

PHYさん
PHYさん

次に状態1に圧力$p_{1}$と絶対温度$T_{1}$をもとめます.

定圧変化なので,$p_{1}=p_{0}=p+\dfrac{mg}{S}$ですね.

そして,絶対温度は

2.理想気体の状態方程式(ボイルシャルルの法則)

を立てます.

ボイル・シャルルの法則

理想気体について,物質量$n$が変化しないとき,気体の圧力を$p$,気体の体積を$V$,絶対温度を$T$とすると,

$\dfrac{pV}{T}=$一定

が成り立つ.(ボイル・シャルルの法則

特に,絶対温度が一定のとき

$pV=$一定(ボイルの法則)

圧力が一定のとき

$\dfrac{V}{T}=$一定(シャルルの法則)

が成り立つ.

NEKO
NEKO

定圧変化なので,シャルルの法則を立てます.

★ シャルルの法則

$\dfrac{V_{0}}{T_{0}}=\dfrac{2V_{0}}{T_{1}}$

$\therefore$ $T_{1}=2T_{0}$

(3)

NEKO
NEKO

気体がした仕事は$pV$グラフを利用しましょう.

NEKO
NEKO

定圧変化なので,縦軸が圧力$P$,横軸が体積$V$のグラフはヨコ線となりますね.

NEKO
NEKO

このとき,上図の青色部分の面積が気体がした仕事です.

つまり,気体がした仕事$W$は

$\eqalign{W&=p_{0}(2V_{0}-V_{0})\\&=(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}}$

NEKO
NEKO

さらに,内部エネルギーの変化$\Delta U$は

$\eqalign{\Delta U&=\dfrac{3}{2}(p_{1}\cdot 2V_{0}-p_{0}V_{0})\\&=\dfrac{3}{2}p_{0}V_{0}\\&=\dfrac{3}{2}(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}}$

熱力学第一法則

内部エネルギーの変化を$\Delta U$,気体が吸収する熱量を$Q$,気体がした仕事を$W$とすると

$Q=\Delta U+W$

NEKO
NEKO

仕上げの熱量$Q$は

3.熱力学第一法則

を用いて,計算します.

★ 熱力学第一法則

$\eqalign{Q&=\Delta U+W\\&=\dfrac{3}{2}(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}+(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}\\&=\dfrac{5}{2}(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}}$

以上より,$W=(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}$$\Delta U=\dfrac{3}{2}(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}$$Q=\dfrac{5}{2}(p+\dfrac{mg}{S})V_{0}$

NEKO
NEKO

これから様々なパターンの演習問題を解いていきましょう.

コメント

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