確実に計算する相対速度

次のことに当てはまる人はこの記事を読むことをおすすめします．

• 速度の向きを意識して計算ができないので，計算がぐちゃぐちゃになっている．
• 2次元運動になると，何がなんだかわからない．
• そもそも言葉の意味がわかない．

　Aに対するBの相対速度とは

相対速度の問題は言葉でやられてしまう人が大半かと思います．問題文で

“物体Aに対する物体Bの相対速度を求めよ．”

と書かれていたとき，これだけだと何がなんだかわかりません．この文章は次のように言い換えましょう．

“物体AからみたときのBの速度を求めよ．”

“対する”→“からみた”と言い換えると気持ちが楽になります．

速度は誰から見るかによって速度が違うんです．たとえば，歩いている人から車をみるのと，車Aに乗っている人から見たほかの車Bの速度は違います．もし，車Aと車Bが同じ速度の向きであれば，車Bはゆっくり動いているように見えます．こどもの頃不思議だなーと思ってよく見ていました．

　一直線上の相対速度（1次元）

<解答>

つまり，”青の物体からみた緑の物体の速度”です．これは直観的にすぐ計算できるでしょう．答は$x$軸の正の方向に$40 \rm{km/h}$です．

$v_{青}$と$v_{緑}$と$v_{青\rightarrow 緑}$には次の関係が成り立っています．

$v_{青}$$+$$v_{青\rightarrow 緑}$$=$$v_{緑}$　$\dots (\ast)$

これは経験則です．次のようなイメージをもちましょう．

青を経由して緑にいく矢印の和は，直接緑いく矢印と等しい

これはまさにベクトルです．

上図では$\vec{a}$$+$$\vec{c}$$=$$\vec{b}$の関係があります．これもスタートから経由する矢印の和は直接ゴールにいく矢印と等しいという関係になっていますね．

さて，$(\ast)$に，$v_{青}=60\rm{km/h}$と$v_{緑}=100\rm{km/h}$を代入しましょう．

$60$$+$$v_{青\rightarrow 緑}$$=$$100$　$\therefore$　$v_{青\rightarrow 緑}=40 \rm{km/h}$

このようにして，ベクトル意識すると，より複雑な運動でも対応ができます．では，次の問題にいきましょう．

<解答>

こちらも直観的にできるかと思います．答えは$x$軸の負の向きに速さ$160 \rm{km/h}$です．では，ベクトルをつかって解きましょう．

青い物体は$x$軸の負の向きの速度をもっているので，$v_{青}=-60 \rm{km/h}$です．一方，緑の物体の速度は$v_{緑}=100 \rm{km/h}$となります．今度は”緑に対する青の物体の速度”なので，”緑からみた青の物体の速度”を求めることになります．だから，”緑”から”青”に向かって矢印をひきましょう．以上を考慮すると，上図のようになります．

経由した矢印と直接の矢印の関係は次のようになります．

$v_{緑}$$+$$v_{緑\rightarrow 青}$$=$$v_{青}$

したがって，

$100+$$v_{緑\rightarrow 青}$$=-60$　$\therefore$　$v_{緑\rightarrow 青}=-160 \rm{km/h}$

このように，$+，-$の情報をいれればきちんと解くことができます．

　2次元運動

1次元運動では直観的にできても，2次元運動になった途端にできくなる人います．次の問題を考えてみましょう．

<解答>

2次元運動のときは速度を

$(x方向の速度，y方向の速度)$

と表すとよいでしょう．

このような表現をすると，$v_{青}=(10\sqrt{3}，0)$，$v_{緑}=(0，10)$となります．緑から青に矢印を引いて

すると，経由した矢印と直接の矢印は次のような関係になります．

$v_{緑}$$+$$v_{緑\rightarrow青}$$=$$v_{青}$　$\therefore$　$v_{緑\rightarrow 青}$$=$$v_{青}$$-$$v_{緑}$

ここに，$v_{青}=(10\sqrt{3}，0)$，$v_{緑}=(0，10)$を代入すると

$v_{緑\rightarrow 青}=(10\sqrt{3}，0)-(0，10)=(10\sqrt{3}，-10)$

以上より，緑の物体からみた青の物体の速度は，$x$方向に$10\sqrt{3}$，$y$方向に$-10$であることがわかります．図示すると下のようになります．

三平方の定理を利用して速さを求めると，$20\rm{km/h}$となります．その方向は$x$軸の正の方向か時計まわりに30°の方向です．

　まとめ

• “Aに対するBの相対速度“は”A”からみたBの速度“のことである．
• 相対速度の計算は，”経由した矢印＝直接の矢印“でベクトル計算をする．その際，軸の向きを決め，+，-の情報を入れる．2次元運動の場合は$(x方向の速度，y方向の速度)$と表示する．

相対速度は2つ以上の物体が動くときに必須の計算となります．確実に計算ができるようにしましょう．