断熱材でできた容器A，容器B，コック，細管が図のようにつながれている．はじめコックが閉じている状態で，容器Aには圧力$P_{0}$，体積$V_{0}$，絶対温度が$T_{0}$の単原子分子理想気体が，容器Bには，圧力$2P_{0}$，体積$3V_{0}$，絶対温度$T_{0}$の二原子分子理想気体が封入されている．気体定数を$R$とすると，単原子分子気体の定積モル比熱は$\dfrac{3}{2}R$，二原子分子気体の定積モル比熱は$\dfrac{5}{2}R$であるとする．
ある時刻でコックをゆっくと開き，十分時間が経つと，気体が混合され，気体の圧力は$P$，絶対温度は$T$となった．このとき，$P，T$をそれぞれ$P?{0}，T_{0}$から必要なものを用いて表せ．
＜解答＞
こちらでは，単原子分子同士の気体の混合でしたが，今回は単原子分子気体と二原子分子気体の混合問題です．
前回と同様に，気体の混合の問題では
- 物質量保存則
- 熱力学第一法則（容器が変形しなくて，断熱されているので，実質内部エネルギー保存）
を立てます．
容器Aにある気体の物質量$n_{\rm A}$と容器B内にある物質量$n_{\rm B}$はそれぞれ
$n_{\rm A}=\dfrac{P_{0}V_{0}}{3RT_{0}}$，$n_{\rm B}=\dfrac{6P_{0}V_{0}}{RT_{0}}$
であり，混合後の物質量の和は
$\dfrac{P\times 4V_{0}}{RT}=\dfrac{4PV_{0}}{RT}$
なので
★ 物質量保存則
$\dfrac{P_{0}\cancel{V_{0}}}{3\bcancel{R}T_{0}}+\dfrac{6P_{0}\cancel{V_{0}}}{\bcancel{R}T_{0}}=\dfrac{4P\cancel{V_{0}}}{\bcancel{R}T}$
$\therefore\,\, \dfrac{P}{T}=\dfrac{19P_{0}}{12T_{0}}$ $\cdots (\ast)$
さらに，単原子分子理想気体の内部エネルギーの表式は$\dfrac{3}{2}nRT$なのに対して，二原子分子理想気体は$\dfrac{5}{2}nRT$であるから
★ 内部エネルギー保存則
$\dfrac{3}{2}\times n_{\rm A}R\times 3T_{0}+\dfrac{5}{2}\times n_{\rm B}R\times T_{0}=\dfrac{3}{2}\times n_{\rm A}RT+\dfrac{5}{2}\times n_{\rm B}RT$
$n_{\rm A}=\dfrac{P_{0}V_{0}}{3RT_{0}}$，$n_{\rm B}=\dfrac{6P_{0}V_{0}}{RT_{0}}$を代入して，$T$について解くと
$\dfrac{3}{2}\times \dfrac{\bcancel{P_{0}V_{0}}}{\cancel{3RT_{0}}}\times \cancel{R\times 3T_{0}}+\dfrac{5}{2}\times \dfrac{6\bcancel{P_{0}V_{0}}}{\cancel{RT_{0}}}\times \cancel{R\times T_{0}}=\dfrac{3}{2}\times \dfrac{\bcancel{P_{0}V_{0}}}{3\cancel{R}T_{0}}\times \cancel{R}T+\dfrac{5}{2}\times \dfrac{6\bcancel{P_{0}V_{0}}}{\cancel{R}T_{0}}\times \cancel{R}T$
$\therefore\,\, \dfrac{3}{2}+15=\dfrac{T}{2T_{0}}+\dfrac{15T}{T_{0}}$
$\therefore\,\, T=\dfrac{33}{31}T_{0}$ (答)
これを$(\ast)$に代入して整理すると
$P=\dfrac{19P_{0}}{12T_{0}}\times \dfrac{33}{31}T_{0}$
$\therefore\,\, P=\dfrac{19\times 11}{4\times 31}P_{0}=\dfrac{209}{124}P_{0}$ (答)
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