[よくある間違い]動く斜面から飛び出す物体の軌道のなす角

分野別
NEKO
NEKO

今回は,よくある間違いシリーズです.

次の問題をみてみましょう

問題

なめらかな水平面の上に傾角$\theta$の斜面をもつ三角台がおかれていて,水平方向に自由に動くことができる.

水平面にある小物体に初速を与えたところ,小物体は三角台の斜面上をのぼり,斜面の最高点から飛び出した.

このとき,水平右向きと鉛直上向きを正とし,$v_{x},v_{y},V>0$とすると,静止した床の上からみた小物体の水平方向の速度が$v_{x}$,鉛直上方向の速度が$v_{y}$であった.

また,三角台の水平速度は$-V$であった.

$\tan \theta$を$v_{x}, v_{y} , V$を用いて表せ.

<解答>

NEKO
NEKO

この文章から察するに

$\tan\theta=\dfrac{v_{y}}{v_{x}}$ではないんだよね??

PHYさん
PHYさん

そうですね.

それがよくある解答ミスです.

三角台からみた小物体の飛び出す角度は,水平面からなす角$\theta$ですが,静止した人からみた角度は$\theta$ではありません.

NEKO
NEKO

なんとなく同じような気がするんだけど・・・

PHYさん
PHYさん

では,相対速度の復習をしましょう.

次図のように,静止したAから電車をみると速度が$5.0\rm m/s$でした.

また,電車の中にいるBから見ると小物体の速度が水平方向に$2.0\rm m/s$でした.

それでは,Aからみた小物体の速度はいくらでしょう.

NEKO
NEKO

$5.0+2.0=7.0\rm m/s$だね!

PHYさん
PHYさん

それでは,電車の中にいるBからみて,水平速度の他に鉛直上向きにも速度$2.0\rm m/s$をもっている場合はどうでしょうか?

NEKO
NEKO

Aからみると水平方向の速度が$7.0\rm m/s$,鉛直方向の速度が$2.0\rm m/s$だね.

PHYさん
PHYさん

そうですね.

電車の中にいるBからみると,45°の角度の方向に速度をもっていますが,Aからみると45°よりやや引く角度の速度になっているのが確認できますね.

そもそも,速度は大きさだけなく,向きの情報もあるんです.

見る人によって変化するのは,速度の大きさだけではなく,向きも変化します

PHYさん
PHYさん

それでは本題にはいりましょう.

NEKO
NEKO

Aからみた三角台の速度が$(-V , 0)$,Aからみた小物体の速度が$(v_{x},v_{y})$なので,三角台で静止しているBくんからみた小物体の速度$(〇, △)$は次のようになるね.

$(-V , 0)+(〇 , △)=(v_{x} , v_{y})$

$\therefore (〇 , △)=(v_{x} , v_{y})-(-V , 0)=(v_{x}+V , v_{y})$

したがって,

$\tan \theta =\dfrac{v_{y}}{v_{x}+V}$

PHYさん
PHYさん

ちなみに,静止したAからみた小物体の水平からのなす角を$\alpha$とすると,$\tan \alpha$はどのようになりますか??

NEKO
NEKO

Aからみた速度を考えればいいんだから

$\tan\alpha =\dfrac{v_{y}}{v_{x}}$

だね.

PHYさん
PHYさん

その通りです.

では最後にまとめです.

相対速度と角度

観測者によって速度の大きさや向きは異なって見える.

したがって,物体の進む向きも観測者によって異なる.

物体の進む方向が問われたとき,誰から見た方向を聞かれているのかを確認すること.

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