[2021慶應理工1(2)の(エ)(オ)]角度に注意

分野別
2021 慶應義塾大 理工 1.(2)の(エ)と(オ)

図のように,質量$M$の逆$\rm U$字型の物体が水平な床の上に置かれている.この物体は,鉛直に立つ高さ$h$の2枚の平板と,その上に接続された半径$h$の半円筒からなっている.図は真横から見た物体の断面,つまり平板と床に垂直な断面を示している.この物体は密度が一様な材質でできており,その厚さは無視できる.断面内における物体の左端を原点として,水平右向きを正とするように床上に$x$軸をとる.また,質量$m$の小球が,物体の内壁の右端$x=2h$の位置に置かれている.小球は断面内でのみ運動し,小球と物体の内壁との間に生じる摩擦は無視できる.鉛直下向きの重力加速度の大きさを$g$とする.

(1) 略

(2) 次に,逆$\rm U$字型の物体を床に固定せずに,床の上でなめらかに動ける状態にした.小球を内壁の右端の床面から大きさ$v_{0}$の初速度で鉛直上向きに打ち上げると,小球は物体の内壁に沿って半円筒の領域に入り,物体は小球から力を受けて水平方向に床を離れずに運動した.水平方向には外力がはたらいていないことから,角度$\alpha$の位置における小球の速度の大きさを$v_{\alpha}$とすると,逆$\rm U$字型の物体の速度は,$m$,$M$,$\alpha$,$v_{\alpha}$を用いて$\fbox{ (エ) }$と書ける.さらに,力学的エネルギー保存の法則から,小球の速度の大きさ$v_{\alpha}$は,$m$,$M$,$g$,$h$,$\alpha$,$v_{0}$を用いて$v_{\alpha}=\fbox{ (オ) }$と書ける.(以後省略)

<解答>

PHYさん
PHYさん

今回は,2021年慶應義塾大の理工の第1問のやや取りくみにくい運動量保存則と力学的エネルギー保存則を立てる(エ)と(オ)のみを扱います.

今回の間違いやすいポイントは

「角度$\alpha$の位置において,床で静止した人からみたときの小物体の水平方向の速度は$-v_{\alpha}\sin\alpha$ではない.」

というところです.

つまり,$v_{\alpha}$を次のように分解してはだめです.

このような,角度の間違いは過去にもいろいろな問題で出ています.

このブログでも次の記事で扱っています.

● 設定

小物体が角度$\alpha$の位置にきたときの$\rm U$字型の物体の速度を$(V , 0)$,小物体の速度を$(v_{x},v_{y})$とします.(水平右向き,鉛直上向きをそれぞれ正とする.)

すると,$\rm U$字型の物体からみた小物体の速度(上図の緑の人からみた速度)は$(v_{x}-V ,v_{y})$となります.

PHYさん
PHYさん

まず,$\alpha\neq 90°$(すなわち,$v_{y}\neq 0$)のときから考えましょう.

このとき,$\rm U$字型の物体からみた(緑の人からみる)小物体の速さの比を考えると,次のようになります.

$\tan\alpha=\dfrac{-(v_{x}-V)}{v_{y}}$ $\dots (\ast)$

さらに,運動量保存則と力学的エネルギー保存則を立てましょう.

運動量保存則は水平方向の速度成分のみです.なので,小物体の速度は$v_{x}$を用います.

また,運動量保存則は基本的に静止している観測者から立ててください.

★ 水平方向の運動量保存則

$0=mv_{x}+MV$ $\dots (2\ast)$

★ 力学的エネルギー保存則

$\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{\alpha}^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}+mgh(1+\sin\alpha)$ $\dots (3\ast)$

★ $v_{\alpha}$と$v_{x}$と$v_{y}$の関係

$v_{\alpha}^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}$ $\dots (4\ast)$

NEKO
NEKO

あとは,これを解くだけだね.

まず,$\fbox{ (エ) }$では,速度$V$を問われているので,$v_{x}$や$v_{y}$を消去しましょう.

$(2\ast)$の$0=mv_{x}+MV$より

$v_{x}=-\dfrac{M}{m}V$ $\dots (5\ast)$

さらに,$(\ast)$の$\tan\alpha=\dfrac{-(v_{x}-V)}{v_{y}}$より

$\eqalign{v_{y}&=-\dfrac{v_{x}-V}{\tan\alpha}\\&=-\dfrac{1}{\tan\alpha}\left(-\dfrac{M}{m}V-V\right)\\&=\dfrac{1}{\tan\alpha}\cdot\dfrac{M+m}{m}V \dots (6\ast)}$

NEKO
NEKO

上式では,途中$(5\ast)$の$v_{x}=-\dfrac{M}{m}V$を代入しました.

さらに,$(4\ast)$の$v_{\alpha}^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}$に$(5\ast)$の$v_{x}=-\dfrac{M}{m}V$と$(6\ast)$の$v_{y}=\dfrac{1}{\tan\alpha}\cdot\dfrac{M+m}{m}V$を代入して,

$\eqalign{v_{\alpha}^{2}&=\left(-\dfrac{M}{m}V\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{\tan\alpha}\cdot\dfrac{M+m}{m}V\right)^{2}\cr V&=\dfrac{m\tan\alpha}{\sqrt{M^{2}\tan^{2}\alpha +(M+m)^{2}}}v_{\alpha}}$

PHYさん
PHYさん

このままでは,$\alpha=90°$ときに使えない式になってしまうので,分子分母に$\cos\alpha$をかけて,$\tan$をなくしましょう.

$\therefore V=\dfrac{m\sin\alpha}{\sqrt{M^{2}\sin^{2}\alpha +(M+m)^{2}\cos^{2}\alpha }}v_{\alpha}$ ($\fbox{ (エ) }$の答)

PHYさん
PHYさん

しかし,これは$\alpha=90°$のときは除いています.

$\alpha=90°$のとき,上式は

$V=\dfrac{m}{M}v_{\alpha}$

です.

実際,$\alpha=90°$のときは,$v_{x}=-v_{\alpha}$です.

運動量保存則より,

$0=m(-v_{\alpha})+MV$

なので,$V=\dfrac{m}{M}v_{\alpha}$となり,答えの式を満たしています.したがって,$0°<\alpha<180°$のすべての角度で答えの式が成り立ちます.

NEKO
NEKO

最後に,(エ)で得た式

$V=\dfrac{m\sin\alpha}{\sqrt{M^{2}\sin^{2}\alpha +(M+m)^{2}\cos^{2}\alpha }}v_{\alpha}$

を$(3\ast)$の式

$\dfrac{1}{2}mv_{0}^{2}=\dfrac{1}{2}mv_{\alpha}^{2}+\dfrac{1}{2}MV^{2}+mgh(1+\sin\alpha)$

に代入して$v_{\alpha}$について解きます.

$\eqalign{mv_{\alpha}^{2}+MV^{2}&=mv_{0}^{2}-2mgh(1+\sin\alpha)\cr mv_{\alpha}^{2}+\dfrac{Mm^{2}\sin^{2}\alpha}{M^{2}\sin^{2}\alpha +(M+m)^{2}\cos^{2}\alpha}v_{\alpha}^{2}&=mv_{0}^{2}-2mgh(1+\sin\alpha)\cr \dfrac{M^{2}\sin^{2}\alpha +(M+m)^{2}\cos^{2}\alpha +Mm\sin^{2}\alpha}{M^{2}\sin^{2}\alpha +(M+m)^{2}\cos^{2}\alpha}v_{\alpha}^{2}&=v_{0}^{2}-2gh(1+\sin\alpha)\cr \dfrac{(M+m)(M+m\cos^{2}\alpha)}{M^{2}\sin^{2}\alpha +(M+m)^{2}\cos^{2}\alpha}v_{\alpha}^{2}&=v_{0}^{2}-2gh(1+\sin\alpha)\cr v_{\alpha}&=\sqrt{\dfrac{M^{2}\sin^{2}\alpha +(M+m)^{2}\cos^{2}\alpha}{(M+m)(M+m\cos^{2}\alpha)}\left\{v_{0}^{2}-2gh(1+\sin\alpha)\right\}}}$

したがって,$\fbox{ (オ) }$ $\sqrt{\dfrac{M^{2}\sin^{2}\alpha +(M+m)^{2}\cos^{2}\alpha}{(M+m)(M+m\cos^{2}\alpha)}\left\{v_{0}^{2}-2gh(1+\sin\alpha)\right\}}$ (答)

コメント

  1. […] 2021年の慶應理工の問題や,こちらの問題のように,角度に注意をする問題が多々出ています. […]

  2. […] [2021慶應理工1(2)の(エ)(オ)]角度に注意2021 慶應義塾大 理工 1.(2)の(エ… [2021慶應理工1(3)]慣性力がする仕事慶應義塾大 理工1.(3)図のように,質量$M$の逆$rm U$字型の物体が水平な床の上に置かれている.この物体は,鉛直に立つ高さ$h$の2枚の平板と,その上に接続された半径$h$の半円筒からなっている.図は真横から見た物体の…physicmath.net […]