[角度に注意]大砲の問題

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NEKO
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2021年の慶應理工の問題や,こちらの問題のように,角度に注意をする問題が多々出ています.

今回も,角度に注意して欲しい問題を解いてみましょう.

問題

図のように,なめらかな水平面上に台車Bが置かれている.

Bには,質量$m$の小物体Aを発射できる発射装置が取り付けられている.

Aを除いた発射装置と台車の質量の合計は$M$であり,発射装置は台車の水平な上面となす角$\theta=45°$の方向に発射できるようにしてある.

発射装置が供給するエネルギーは$E(>0)$であり,エネルギー$E$はすべて小球と台車および発射装置の運動エネルギーに変わる.

台車は鉛直方向には運動をしないものとする.このとき,Aを発射直後の台車の速さを$m$,$M$,$E$を用いて表せ.

<解答>

PHYさん
PHYさん

水平方向の運動量保存則とエネルギー保存則を立てるために,発射直後の小球の速度を$(v_{x},v_{y})$,台車の速度を$(V, 0)$と設定します.

しかし,$\theta=45°$だからといって,小球の速度を$(v , v)$などと設定してはいけません

なぜならば,静止した人から見た小球の速度と,Bの上から見た小球の速度は異なるからです

速度が異なるということは,水平成分と鉛直成分の比も異なります.

実際,$\theta$はBの上から速度の方向であって,静止した人から速度の方向ではありません.

こちらの記事でも確認してください.

相対速度と角度

観測者によって速度の大きさや向きは異なって見える.

したがって,物体の進む向きも観測者によって異なる.

物体の進む方向が問われたとき,誰から見た方向を聞かれているのかを確認すること.

PHYさん
PHYさん

いまいちど,問題設定をしましょう.

静止した人から見た(青い人)小球の速度を$(v_{x},v_{y})$,台車の速度を$(V, 0)$とします.

すると,台車からみた(緑の人)小球の速度は$(v_{x}-V , v_{y})$となります.

台車からみた小球の水平成分と鉛直成分の大きさは$\theta=45°$であることから,$1:1$となります.

すなわち

★ $v_{x}$,$V$,$v_{y}$の関係

$\dfrac{v_{y}}{v_{x}-V}=1$

$\therefore v_{y}=v_{x}-V$ $\dots (\ast)$

PHYさん
PHYさん

さらに,運動量保存則とエネルギー保存則を立てます.

★ 水平方向の運動量保存則

$0=mv_{x}+MV$ $\dots (2\ast)$

★ エネルギー保存則

$E=\dfrac{1}{2}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})+\dfrac{1}{2}MV^{2}$ $\dots (3\ast)$

PHYさん
PHYさん

$(\ast)$~$(3\ast)$の式より,$V$を求めましょう.

$(2\ast)$より

$v_{x}=-\dfrac{M}{m}V$ $\dots (4\ast)$

$(4\ast)$を$(\ast)$に代入すると

$\eqalign{v_{y}&=v_{x}-V\\&=-\dfrac{M}{m}V-V\\&=-\dfrac{M+m}{m}V \dots (5\ast)} $

$(4\ast)$,$(5\ast)$を$(3\ast)$に代入する

$\eqalign{E&=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{M^{2}}{m^{2}}V^{2}+\dfrac{(M+m)^{2}}{m^{2}}V^{2}\right)+\dfrac{1}{2}MV^{2}\cr \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2M^{2}+3Mm+m^{2}}{m}V^{2}&=E\cr \dfrac{1}{2}\dfrac{(2M+m)(M+m)}{m}V^{2}&=E\cr V^{2}&=\dfrac{2mE}{(2M+m)(M+m)}}$

したがって,台車の速さは,$|V|=\sqrt{\dfrac{2mE}{(2M+m)(M+m)}}$(答)

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