図のように，なめらかな水平面上に台車Bが置かれている．
Bには，質量$m$の小物体Aを発射できる発射装置が取り付けられている．
Aを除いた発射装置と台車の質量の合計は$M$であり，発射装置は台車の水平な上面となす角$\theta=45°$の方向に発射できるようにしてある．
発射装置が供給するエネルギーは$E(>0)$であり，エネルギー$E$はすべて小球と台車および発射装置の運動エネルギーに変わる．
台車は鉛直方向には運動をしないものとする．このとき，Aを発射直後の台車の速さを$m$，$M$，$E$を用いて表せ．
＜解答＞
水平方向の運動量保存則とエネルギー保存則を立てるために，発射直後の小球の速度を$(v_{x},v_{y})$，台車の速度を$(V, 0)$と設定します．
しかし，$\theta=45°$だからといって，小球の速度を$(v , v)$などと設定してはいけません．
なぜならば，静止した人から見た小球の速度と，Bの上から見た小球の速度は異なるからです．
速度が異なるということは，水平成分と鉛直成分の比も異なります．
実際，$\theta$はBの上から速度の方向であって，静止した人から速度の方向ではありません．
こちらの記事でも確認してください．
観測者によって速度の大きさや向きは異なって見える．
したがって，物体の進む向きも観測者によって異なる．
物体の進む方向が問われたとき，誰から見た方向を聞かれているのかを確認すること．
いまいちど，問題設定をしましょう．
静止した人から見た（青い人）小球の速度を$(v_{x},v_{y})$，台車の速度を$(V, 0)$とします．
すると，台車からみた(緑の人)小球の速度は$(v_{x}-V , v_{y})$となります．
台車からみた小球の水平成分と鉛直成分の大きさは$\theta=45°$であることから，$1:1$となります．
すなわち
★ $v_{x}$，$V$，$v_{y}$の関係
$\dfrac{v_{y}}{v_{x}-V}=1$
$\therefore v_{y}=v_{x}-V$ $\dots (\ast)$
さらに，運動量保存則とエネルギー保存則を立てます．
★ 水平方向の運動量保存則
$0=mv_{x}+MV$ $\dots (2\ast)$
★ エネルギー保存則
$E=\dfrac{1}{2}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})+\dfrac{1}{2}MV^{2}$ $\dots (3\ast)$
$(\ast)$~$(3\ast)$の式より，$V$を求めましょう．
$(2\ast)$より
$v_{x}=-\dfrac{M}{m}V$ $\dots (4\ast)$
$(4\ast)$を$(\ast)$に代入すると
$\eqalign{v_{y}&=v_{x}-V\\&=-\dfrac{M}{m}V-V\\&=-\dfrac{M+m}{m}V \dots (5\ast)} $
$(4\ast)$，$(5\ast)$を$(3\ast)$に代入する
$\eqalign{E&=\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{M^{2}}{m^{2}}V^{2}+\dfrac{(M+m)^{2}}{m^{2}}V^{2}\right)+\dfrac{1}{2}MV^{2}\cr \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2M^{2}+3Mm+m^{2}}{m}V^{2}&=E\cr \dfrac{1}{2}\dfrac{(2M+m)(M+m)}{m}V^{2}&=E\cr V^{2}&=\dfrac{2mE}{(2M+m)(M+m)}}$
したがって，台車の速さは，$|V|=\sqrt{\dfrac{2mE}{(2M+m)(M+m)}}$(答)
コメント