位相差のススメ[波の干渉]

位相差による強め合いの条件と弱め合いの条件

位相差が生じる3つの要素

初期位相による位相のずれ

反射による位相のずれ

距離の差による位相のずれ

まとめ

演習問題

<解答>

[A]

(1)　初期位相のずれ，反射によるずれはないので，距離の差による位相のずれ$\phi_{3}$を考えればよいです．比例式を立てて

$2\pi : \lambda =\phi_{3} : \Delta l$　$\therefore　\phi_{3}=\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta l$

したがって，強め合いの条件は

$\phi_{3}=2\pi m$

$\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta l=2\pi m$ (答)

ちなみに，次のように変形すると，いつもの強め合いの条件になります．

$\Delta l=m\lambda$

弱め合いの条件は

$\phi_{3}=(2m+1)\pi$

$\dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta l=(2m+1)\pi$　(答)

こちらも，次のように変形できます．

$\Delta l=(m+\dfrac{1}{2})\lambda$

(2)　初期位相の差が$\phi_{1}=\pi$なので，(1)の距離の差による位相のずれも考慮して，強め合いの条件は

$\eqalign{\phi_{1}+\phi_{3}&=2\pi m \cr \dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta l &=(2m-1)\pi}$　(答)

変形すると

$\Delta l=(m-\dfrac{1}{2})\lambda$

となります．

弱め合いの条件は

$\eqalign{\phi_{1}+\phi_{3}&=(2m+1)\pi \cr \dfrac{2\pi}{\lambda}\Delta l &=2m\pi}$　(答)

変形すると

$\Delta l=m\lambda$

となります．

[B]

O→PもO→反射→Pも出発点はどちらもOなので，初期位相のずれは0です．

一方，O→反射→Pの方は固定端反射するので，位相のずれは$\phi_{2}=\pi$となります．

最後に距離の差による位相のずれです．

O→反射→Pの経路の長さは$L+(L-x)=2L-x$，O→Pの経路の長さは$x$なので，経路差$\Delta l$は

$\Delta l=(2L-x)-x=2(L-x)$

となります．したがって，距離の差による位相のずれ$\phi_{3}$は

$2\pi : \lambda =\phi_{3} : 2(L-x)$

$\phi_{3}=\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2(L-x)$　

となります．以上より，強め合いの条件は

$\eqalign{\phi_{2}+\phi_{3}&=2\pi m \cr \pi +\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2(L-x)&=2\pi m \cr \dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2(L-x)&=(2m-1)\pi }$　(答)

また，変形すると

$2(L-x)=(m-\dfrac{1}{2})\lambda$

同じく，弱め合いの条件は

$\eqalign{\phi_{2}+\phi_{3}&=(2m+1)\pi \cr \pi +\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2(L-x)&=(2m+1)\pi \cr \dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot 2(L-x)&=2m\pi }$　(答)

また，変形すると

$2(L-x)=m\lambda$