準静的断熱変化の際に成り立つ式[ポアソンの式]

$\eqalign{(p+\Delta p)(V+\Delta V)&=nR(T+\Delta T)\cr pV+p\Delta V+V\Delta p +\Delta p \Delta V&=nRT+nR\Delta T\cr p\Delta V+V\Delta p+ \Delta p \Delta V&=nR\Delta T　\dots　(\ast) }$

$\Delta p \Delta V\fallingdotseq 0$より

$p\Delta V+V\Delta p=nR\Delta T$　$\dots　(2\ast)$

$p\Delta V+V\Delta p=nR\Delta T$　$\dots　(2\ast)$より

$\eqalign{p\Delta V+V\Delta p &=nR\cdot (-\dfrac{p\Delta V}{nC_{\rm{V}}})\cr p\Delta V+\dfrac{\cancel{n}R}{\cancel{n}C_{\rm{V}}}p\Delta V &=-V\Delta p\cr p\Delta V(1+\dfrac{R}{C_{\rm{V}}})&=-V\Delta p\cr p\Delta V\cdot (\dfrac{C_{\rm{V}}+R}{C_{\rm{V}}})&=-V\Delta p}$

ここで，理想気体のマイヤーの関係$C_{\rm{p}}=C_{\rm{V}}+R$と$\gamma=\dfrac{C_{\rm{p}}}{C_{\rm{V}}}$を使って，$\dfrac{C_{\rm{V}}+R}{C_{\rm{V}}}=\gamma$より

$p\Delta V \cdot \gamma =-V\Delta p $

両辺$pV$で割ると

　$\eqalign{\gamma \dfrac{\Delta V}{V}&=-\dfrac{\Delta p}{p}\cr \dfrac{\Delta p}{p}&=-\gamma \dfrac{\Delta V}{V}}$

ここで，$\Delta p $，$\Delta V$は非常に小さいので，$\Delta p→dp$，$\Delta V→dV$として両辺積分をします．

さて，両辺積分をして，

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{p}\,dp=-\gamma\int \dfrac{1}{V}\,dV }$

$\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\log|x|+}$積分定数　を使いましょう．$\log$の底は自然対数$e$です．

$\eqalign{\log p &=-\gamma \log V +K\cr \log p+\log V^{\gamma}&=K \cr \log pV^{\gamma}&=K}$

$K$は積分定数です．したがって，

$pV^{\gamma}=$一定

が出てきます．

また，理想気体の状態方程式$pV=nRT$を$p=\dfrac{nRT}{V}$として上式に代入すれば，

$\dfrac{nRT}{V}V^{\gamma}$

$nR=$一定とすれば

$TV^{\gamma -1}=$一定

を得ます．