[共通テスト対策問題6] 相対運動 [物理]

共通テスト対策問題
NEKO
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今回は力学の問題です.

冷静に考えれば,確実に得点できると思います.

解答は最後にあります.

問題

図のように,電車が速さ$v$で水平右向きに等速直線運動をしている.電車の外には静止した観測者Aが,電車の中には,電車に対して静止した観測者Bがいる.

電車内の底面より高さ$h$に大きさの無視できるボールが固定されている.時刻0でボールの固定をはずすと,Bからみて初速度0でボールは運動をはじめた.重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ.

(1) ボールがはじめに電車の底面に達する時刻$t_{0}$として正しいものを選べ.

$① t_{0}=\dfrac{h}{g}$ $② t_{0}=\sqrt{\dfrac{h}{g}}$ $③ t_{0}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ $④ t_{0}=\sqrt{\dfrac{h}{2g}}$ $⑤ t_{0}=\dfrac{-v+\sqrt{v^{2}+2gh}}{g}$

(2) $t=0$よりボールの運動をBからみると,ボールはP点より運動をはじめ,Q点で面に対して垂直に衝突して跳ね返り,R点で最高点に達した.衝突の前後で電車の速度の変化はないものとすると,観測者Aからみたボールの軌道はどのようになるか,①~⑥の中から最も適当なものを選びなさい.

<解答>

(1)

NEKO
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電車は等速度運動しているので,観測者Bからみたボールにはたらく力は重力だけだね!

つまり,ボールは等加速度運動するわけだね!

まずは,等加速度運動の式を確認しておきましょう.

等加速度運動の式

物体は加速度$a$で$x$軸上を運動している.$t=0$において,原点にある物体が,時刻$t$に座標$x$に移動した.初速度を$v_{0}$,時刻$t$における速度を$v$とするとき,次の関係式が成り立つ.

$v=v_{0}+at$ $\dots (\ast)$

$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^2$ $\dots (2\ast)$

$v^{2}-v_{0}^{2}=2ax$ $\dots (3\ast)$

NEKO
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今回は高さ$h$が与えられていることと,時刻$t_{0}$を聞かれていることから$(2\ast)$の式を立てましょう.

$x=v_{0}t+\dfrac{1}{2}at^{2}$

NEKO
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ここで,初速度は$v_{0}$です!

今回の観測者はBであることと,そもそも鉛直方向の等加速度運動の式を立てているので,電車の水平方向の速度は関係ありません!

$x=h$,$v_{0}=0$,$a=g$,$t=t_{0}$として

$h=\dfrac{1}{2}gt_{0}^{2}$ $\therefore t_{0}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$

したがって,答えは$③$です.

(2) 

NEKO
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2次元運動なので速度を$(v_{x},v_{y})$の形で表します.$v_{x}$は右方向の速度,$v_{y}$は上方向の速度としましょう.

Bは電車とともに,右方向に速度$v$で動いていて,上下方向には動いていないので$(v , 0)$です.

また,$t=0$において,ボールはBからみて静止しているので$(0 , 0)$です.

ベクトルの足し算をするとAからみたボールの速度は

$(v , 0)+(0 , 0)=(v , 0)$

となります.ボールは重力しかはたらいていないので

水平右方向に初速をもっていて重力がはたらく→水平投射

となります.とりあえず,ボールが電車と衝突するまでは水平投射運動します.

NEKO
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次にボールが電車と衝突した後について考えます.

衝突後Bからみた速度は$(0 , v_{1})$としましょう.

また,AからみたBの速度は同じく$(v , 0)$です.

したがって,ベクトルの足し算をすれば,Aからみたボールの速度は

$(v , 0)+(0 , v_{1})=(v , v_{1})$

つまり,ボールは上図のように,斜めに初速度をもって運動をします.やはり重力しかはたらかないので,ボールは放物運動をします.

したがって,答えは$①$となります.

以上より(1) $③$ (2) $①$

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