波の式と干渉1

分野別
問題

スリット$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$をもつ薄い板に波長$\lambda$の平面波を波面と板の面が平行になるようにあてる.平面波は$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$で回折した.ただし,波長は回折前と回折後で変化はなく,$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$における時刻$t$媒質の変位$y$は,振幅を$A\,(>0)$,周期$T$を用いて,ともに

$y=A\sin\dfrac{2\pi}{T}t$

である.図の$\rm S_{1}$からPまでの距離を$L_{1}$,$\rm S_{2}$からPまでの距離を$L_{2}$とする.次の問いに答えよ.

(1) 時刻$t$において,$\rm S_{1}$からPに伝わった波の変位を$y_{1}$,$\rm S_{2}$からPに伝わった波の変位を$y_{2}$とする.$y_{1}$,$y_{2}$を,$A,T,v,L_{1},L_{2},t$から必要なものを用いて表せ.

(2) 時刻$t$におけるPの変位は$y=y_{1}+y_{2}$である.この合成波の振幅を$A,L_{1},L_{2},v,T$を用いて表せ.

(3) Pの波の変位が時刻によらず常に0であった.このとき,$L_{2}-L_{1}$を整数$m$と波長$\lambda$を用いて表せ.

<解答>

(1)

★ $y_{1}$について

($\rm S_{1}$から伝わる)Pの波の変位は時間$\dfrac{L_{1}}{v}$前の$\rm S_{1}$の波の変位と等しいから

$y_{1}=A\sin\left\{\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{L_{1}}{v}\right)\right\}$ (答)

★ $y_{2}$について

($\rm S_{2}$から伝わる)Pの波の変位は時間$\dfrac{L_{2}}{v}$前の$\rm S_{2}$の波の変位と等しいから

$y_{2}=A\sin\left\{\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{L_{2}}{v}\right)\right\}$ (答)

(2) 

PHYさん
PHYさん

三角関数の和→積の変換式を用いて振幅を求めます.

$\eqalign{y&=y_{1}+y_{2}\\&= A\sin\left\{\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{L_{1}}{v}\right)\right\} + A\sin\left\{\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{L_{2}}{v}\right)\right\} \cdots (\sharp)}$

和から積への変換

まず,正弦の加法定理を書き出します.

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ $\cdots (\ast)$

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ $\cdots (2\ast)$

$(\ast)+(2\ast)$を計算します.

$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$ $\cdots (\clubsuit)$

この式と$(\sharp)$との対応関係を書き出しましょう.

$\alpha+\beta= \dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{L_{1}}{v}\right) $ $\cdots (3\ast)$

$\alpha-\beta= \dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{L_{2}}{v}\right) $ $\cdots (4\ast)$

$(3\ast)+(4\ast)$を計算し,$\alpha$を求めます.

$2\alpha=\dfrac{2\pi}{T}\left(2t-\dfrac{L_{1}+L_{2}}{v}\right)$

$\therefore \alpha=\dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{L_{1}+L_{2}}{2v}\right)$ $\cdots (5\ast)$

$(3\ast)-(4\ast)$を計算し,$\beta$を求めます.

$2\beta=\dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{L_{2}-L_{1}}{v}$

$\therefore \beta=\dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{L_{2}-L_{1}}{2v}$ $\cdots (6\ast)$

$(5\ast)$,$(6\ast)$を$(\clubsuit)$の右辺に代入して積の形をつくります.

$2\sin\left\{ \dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{L_{1}+L_{2}}{2v}\right) \right\}\cos \left( \dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{L_{2}-L_{1}}{2v} \right)$

したがって,$(\sharp)$の式は

$y=2A \cos \left( \dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{L_{2}-L_{1}}{2v} \right) \sin\left\{ \dfrac{2\pi}{T}\left(t-\dfrac{L_{1}+L_{2}}{2v}\right) \right\} $

PHYさん
PHYさん

上式の$\sin$の部分は時間によって変化しますが,$\cos$の部分は時間によらず変化しません.

$\sin$より前の部分に絶対値をとったものが振幅となります.

振幅$=2A| \cos \left( \dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{L_{2}-L_{1}}{2v} \right) |$ (答)

(3) 

PHYさん
PHYさん

時間によらず変位$y$が0になるのは,振幅が$0$のときです.

すなわち,

$\cos \left( \dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{L_{2}-L_{1}}{2v} \right)=0$

のときなので,

$\dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{L_{2}-L_{1}}{2v}=\pm\dfrac{\pi}{2},\pm\dfrac{3}{2}\pi,\pm\dfrac{5}{2}\pi ,\cdots $

整数$m$を用いて

$ \dfrac{2\pi}{T}\cdot \dfrac{L_{2}-L_{1}}{\cancel{2}v} =\dfrac{2m+1}{\cancel{2}}\pi$

波の基本式より,$vT=\lambda$であるから,

$\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot (L_{2}-L_{1})=(2m+1)\pi$

$\therefore L_{2}-L_{1}=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$ (答)

コメント

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