$pV$グラフの読み取り演習1

演習問題
PHYさん
PHYさん

縦軸を気体の圧力$p$,横軸を気体の体積$V$としたグラフを$pV$グラフといいます.

このシリーズでは,$pV$グラフ読み取りの練習をしています.

$pV$グラフについては,下の記事でも取り扱っています.

PHYさん
PHYさん

それでは,問題を解いてみましょう.

問題

単原子分子理想気体の圧力$p$と体積$V$を縦軸が気体の圧力$p$,横軸が気体の体積$V$のグラフにすると,上図のようになった.

状態Aでは,圧力が$p_{0}$,体積が$V_{0}$,絶対温度が$T_{0}$であった.

状態Aから体積を一定に保ったまま,圧力を$3p_{0}$にした.(状態B)

さらに,状態Bから圧力を一定に保って,体積を$4V_{0}$にした.(状態C)

さらに,状態Cから体積を一定に保って,圧力を$p_{0}$にした.(状態D)

最後に,状態Dから圧力を一定に保って,状態Aに戻した.

以下の設問では$p_{0}$,$V_{0}$,$T_{0}$から適当なものを用いて解答せよ.

(1) 状態B,C,Dにおける絶対温度$T_{\rm B}$,$T_{\rm C}$,$T_{\rm D}$をそれぞれ求めよ.

(2) 状態Aから状態Bまでに,気体がした仕事$W_{\rm AB}$,気体の熱量$Q_{\rm AB}$,内部エネルギーの変化$\Delta U_{\rm AB}$をそれぞれ求めよ.

(3) 状態Bから状態Cまでに,気体がした仕事$W_{\rm BC}$,気体の熱量$Q_{\rm BC}$,内部エネルギーの変化$\Delta U_{\rm BC}$をそれぞれ求めよ.

(4) 状態Cから状態Dまでに,気体がした仕事$W_{\rm CD}$,気体の熱量$Q_{\rm CD}$,内部エネルギーの変化$\Delta U_{\rm CD}$をそれぞれ求めよ.

(5) 状態Dから状態Aまでに,気体がした仕事$W_{\rm DA}$,気体の熱量$Q_{\rm DA}$,内部エネルギーの変化$\Delta U_{\rm DA}$をそれぞれ求めよ.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

絶対温度を調べるのは,ボイル・シャルルの法則でもよいですが,ここでは,次のことを利用して問題を解きましょう.

$pV$図の読みとり① 絶対温度

絶対温度は状態の点から$p$軸$V$軸へ下した垂線の足と原点でつくられる長方形の面積に比例する.

NEKO
NEKO

上図をみれば,Aの絶対温度が$T_{0}$なので,Bは3倍の$3T_{0}$,Cは$12T_{0}$,Dは$4T_{0}$となりますね.

答え:$T_{\rm B}=3T_{0}$$T_{\rm C}=12T_{0}$$T_{\rm D}=4T_{0}$

PHYさん
PHYさん

気体がした仕事は$pV$グラフと$V$軸で囲まれた面積を利用しましょう.

$pV$図の読み取り② 気体がした仕事

気体がした仕事は上図のように緑色部分の面積を求めることで計算ができる.

ただし,状態変化の矢印が右向きのときは

面積=気体がした仕事

であるが,状態変化の矢印が左向きのときは

-面積=気体がした仕事

である.

PHYさん
PHYさん

そして,内部エネルギーは次の式で求めることができます.

単原子分子理想気体の内部エネルギー

問題文に単原子分子理想気体とかいてあるときは,次のことを使うことができる.

定積モル比熱が$\dfrac{3}{2}R$である.すなわち

内部エネルギー$U$は

$U=\dfrac{3}{2}nRT=\dfrac{3}{2}pV$

内部エネルギーの変化$\Delta U$は

$\Delta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T=\dfrac{3}{2}(p_{2}V_{2}-p_{1}V{1})$

※$n$:物質量,$T$:絶対温度,$p$:圧力,$V$:体積

PHYさん
PHYさん

そして,熱量は熱力学第一法則から計算してみましょう.

熱力学第一法則

内部エネルギーの変化を$\Delta U$,気体が吸収する熱量を$Q$,気体がした仕事を$W$とすると

$Q=\Delta U+W$

(2)

NEKO
NEKO

A→Bは定積変化なので,気体がした仕事は0です.

面積が0だから,と考えることもできます.

そして,内部エネルギーの変化は

$\eqalign{\Delta U_{\rm AB}&=\dfrac{3}{2}(3p_{0}V_{0}-p_{0}V_{0})\\&=3p_{0}V_{0}}$

さらに,熱力学第一法則より

$Q_{\rm AB}=\Delta U_{\rm AB}+W_{\rm AB}=3p_{0}V_{0}$

以上より,

$W_{\rm AB}=0$,$\Delta U_{\rm AB}=3p_{0}V_{0}$,$Q_{\rm AB}=3p_{0}V_{0}$

(3) 

NEKO
NEKO

同様に,計算していきましょう!

面積を考えて

$W_{\rm BC}=3p_{0}\cdot (4V_{0}-V_{0})=9p_{0}V_{0}$

内部エネルギーの式より

$\Delta U_{\rm BC}=\dfrac{3}{2}\{3p_{0}\cdot (4V_{0}-V_{0})\}=\dfrac{27}{2}p_{0}V_{0}$

熱力学第一法則より

$Q_{\rm BC}=\Delta U_{\rm BC}+W_{\rm BC}=\dfrac{45}{2}p_{0}V_{0}$

(4) 

面積を考えて

$W_{\rm CD}=0$

内部エネルギーの式より

$\Delta U_{\rm CD}=\dfrac{3}{2}\{4V_{0}\cdot (p_{0}-3p_{0})\}=-12p_{0}V_{0}$

熱力学第一法則より

$Q_{\rm CD}=\Delta U_{\rm CD}+W_{\rm CD}=-12p_{0}V_{0}$

(5) 

面積を考えて

$W_{\rm DA}=-p_{0}\cdot (4V_{0}-V_{0})=-3p_{0}V_{0}$

内部エネルギーの式より

$\Delta U_{\rm DA}=\dfrac{3}{2}\{p_{0}\cdot (V_{0}-4V_{0})\}=-\dfrac{9}{2}p_{0}V_{0}$

熱力学第一法則より

$Q_{\rm DA}=\Delta U_{\rm DA}+W_{\rm DA}=-\dfrac{15}{2}p_{0}V_{0}$

コメント

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