twitterの問題37の解答　ばねにつながれている2つの小球の等速円運動

<問題>

<解答>

それぞれ等速円運動をしているので，向心方向の運動方程式を立てる．

ばねの長さが$l_{1}+l_{2}$で，自然長が$l$なので，ばねの伸びは$l_{1}+l_{2}-l$である．

★　向心方向の運動方程式

$m_{1}l_{1}\omega^{2}=k(l_{1}+l_{2}-l)$　$\cdots (\ast)$

$m_{2}l_{2}\omega^{2}=k(l_{1}+l_{2}-l)$　$\cdots (2\ast)$

$(\ast)$，$(2\ast)$の右辺が同じなので左辺も同じになるから

$m_{1}l_{1}\omega^{2}=m_{2}l_{2}\omega^{2}$　$\therefore\,\,\ l_{2}=\dfrac{m_{1}}{m_{2}}l_{1}　\cdots (3\ast)$

※　つまり，回転の中心は小球1，2の重心になります．

★　$(3\ast)$を$(\ast)$に代入して$l_{1}$を求める．

$m_{1}l_{1}\omega^{2}=k\left(l_{1}+\dfrac{m_{1}}{m_{2}}l_{1}-l\right)$

$\therefore\,\, \dfrac{(m_{1}+m_{2})kl_{1}}{m_{2}}-m_{1}l_{1}\omega^{2}=kl$

両辺$m_{2}$をかけて

$\left\{(m_{1}+m_{2})k-m_{1}m_{2}\omega^{2}\right\}l_{1}=m_{2}kl$

$\therefore\,\, l_{1}=\dfrac{m_{2}kl}{(m_{1}+m_{2})k-m_{1}m_{2}\omega^{2}}$　(答)