<問題>

<解答>
それぞれ等速円運動をしているので,向心方向の運動方程式を立てる.
等速円運動の問題で立てて欲しい2式
- 向心方向の運動方程式
- 周期の式
半径$r$,円運動の接線方向の速さを$v$,角速度を$\omega$とすると,向心加速度の大きさ$a$は
$a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$
向心加速度の向きは円運動の中心
ばねの長さが$l_{1}+l_{2}$で,自然長が$l$なので,ばねの伸びは$l_{1}+l_{2}-l$である.

★ 向心方向の運動方程式
$m_{1}l_{1}\omega^{2}=k(l_{1}+l_{2}-l)$ $\cdots (\ast)$
$m_{2}l_{2}\omega^{2}=k(l_{1}+l_{2}-l)$ $\cdots (2\ast)$
$(\ast)$,$(2\ast)$の右辺が同じなので左辺も同じになるから
$m_{1}l_{1}\omega^{2}=m_{2}l_{2}\omega^{2}$ $\therefore\,\,\ l_{2}=\dfrac{m_{1}}{m_{2}}l_{1} \cdots (3\ast)$
※ つまり,回転の中心は小球1,2の重心になります.
★ $(3\ast)$を$(\ast)$に代入して$l_{1}$を求める.
$m_{1}l_{1}\omega^{2}=k\left(l_{1}+\dfrac{m_{1}}{m_{2}}l_{1}-l\right)$
$\therefore\,\, \dfrac{(m_{1}+m_{2})kl_{1}}{m_{2}}-m_{1}l_{1}\omega^{2}=kl$
両辺$m_{2}$をかけて
$\left\{(m_{1}+m_{2})k-m_{1}m_{2}\omega^{2}\right\}l_{1}=m_{2}kl$
$\therefore\,\, l_{1}=\dfrac{m_{2}kl}{(m_{1}+m_{2})k-m_{1}m_{2}\omega^{2}}$ (答)
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