<問題>
＜方針＞
まず，対称性からPの重心は$x$軸上にあることがわかる．
切り取った1つの円板の半径$r$を求め，切り取った3つの円の重心の$x_{1}，x_{2}，x_{3}$，質量を$m$とする．また，Pの質量を$M$とし，重心座標を$X$とする．すべての重心の重心は原点になるから，$x$座標の重心の式
$0=\dfrac{MX+mx_{1}+mx_{2}+mx_{3}}{M+3m}$
より，$X$を求める．
<解答>
切り取った円の半径を$r$とする．すると，上図において，${\rm OA}={\rm OB}=R-r$であり，${\rm AB}=2r$であり，三角形$\rm OAB$は直角二等辺三角形であるから$\rm AB=\sqrt{2}OA$より
$2r=\sqrt{2}(R-r)$ $\,\,\therefore\,\, r=(\sqrt{2}-1)R$ $\cdots (\ast)$
切り取った円の面積は$\pi r^{2}$であるから，単位面積あたりの質量を$\rho$とおけば，切り取った円の質量$m$は
$m=\pi r^{2}\times \rho$
である．また，半径$R$の円の面積は$\pi R^{2}$なので，その質量は$\pi R^{2}\times \rho$だから，Pの質量$M$は
$M=\pi R^{2}\times \rho-3\pi r^{2}\times \rho=\pi\rho(R^{2}-3r^{2})$
である．また，切り取った3つの円の$x$座標はそれぞれ$0，0，-R+r$であり，切り取った3つの円板と残りのPの重心は切り取る前の円板の重心Oに等しいので，Pの重心の$x$座標を$X$として，重心の式より
座標$x_{1}$，$x_{2}$にそれぞれ質量$m_{1}$，$m_{2}$の物体がある．
このときの重心の位置$x_{\rm G}$は
$x_{\rm G}=\dfrac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
※ これは，2つで考えたが，$n$個分に拡張できる．
$0=\dfrac{MX+m\times 0+m\times 0+m\times (-R+r)}{M+3m}$
$\therefore\,\, X=\dfrac{m(R-r)}{M}$
$M=\pi\rho(R^{2}-3r^{2})$，$m=\pi r^{2}\times \rho$を代入して
$X=\dfrac{\cancel{\pi} r^{2}\times \cancel{\rho}}{\cancel{\pi\rho}(R^{2}-3r^{2})}\times (R-r)$
ここで，$(\ast)$の$r=(\sqrt{2}-1)R$を代入すると割りと大変な目に合うので，$R=(\sqrt{2}+1)r$として，$R$を消去すると
$X=\dfrac{r}{2}$
を得る．ここに，$r=(\sqrt{2}-1)R$を代入して
$X=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}R$ (答)
コメント