プリズムの問題はできなくはないけど，時間がかかる！という人はいませんか？
次の問題を通して，次の2つを復習しましょう．
1. 屈折の法則
2. プリズムの問題で着目する3つのこと．
下図のように，屈折率$n$の媒質でつくられた頂角$\alpha$のプリズムが置かれている．今，プリズムに単色光を当てる．単色光はA点を入射し，プリズム中を進む．その後，B点を通り抜ける．A点での入射角と屈折角をそれぞれ$\theta_{1}$，$\theta_{1}^{\prime}$，B点での入射角と屈折角をそれぞれ$\theta_{2}^{\prime}$，$\theta_{2}$とする．
A点から入射される光線とB点から出る光線のなす角（偏角）を$\delta$とする．また，プリズムは空気中におかれており，空気の屈折率を1とみなす．以下の問いに答えよ．
(1) A点における屈折の法則を表す式として，適当なものを次の中から選べ．
$① \sin \theta_{1}=n\cos \theta_{1}^{\prime}$ $② n\sin \theta_{1}=\cos \theta_{1}^{\prime}$
$③ \cos \theta_{1}=n\cos \theta_{1}^{\prime}$ $④ n\cos \theta_{1}=\cos \theta_{1}^{\prime}$
$⑤ \sin \theta_{1}=n\sin \theta_{1}^{\prime}$ $⑥ n\sin \theta_{1}=\sin \theta_{1}^{\prime}$
(2) 偏角$\delta$を表したものとして正しいものを次の中から選べ．
$① \delta=\theta_{1}+\theta_{2}+\alpha$ $② \delta=\theta_{1}-\theta_{2}-\alpha$
$③ \delta=\theta_{1}+\theta_{2}-\alpha$ $④ \delta=\alpha-\theta_{1}-\theta_{2}$
$⑤ \delta=\alpha-\theta_{1}+\theta_{2}$ $⑥ \delta=\alpha+\theta_{1}-\theta_{2}$
解答は一番最後にあるからチェックしてみてくださいね！
それでは，まず，屈折の法則から復習します．
屈折の法則
屈折の法則は，間違うポイントがたくさんあるから，しっかりと整理しておきましょう．
光が媒質1に入射し，媒質2へ屈折することを考える．
媒質1の入射角を$\theta_{1}$，波が伝わる速さを$v_{1}$，波長を$\lambda_{1}$，絶対屈折率を$n_{1}$とする．また，媒質2の入射角を$\theta_{2}$，波が伝わる速さを$v_{2}$，波長を$\lambda_{2}$，絶対屈折率を$n_{2}$とする．このとき，次の関係が成り立つ．
$\dfrac{\sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}=\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}$
よくある間違いは次の3つです．．．
- $\dfrac{\sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}$ではなく，$\dfrac{\theta_{1}}{\theta_{2}}$としてしまう．（近似できるときはこの形もあるんですが．．）
- 屈折によって，振動数や周期まで変化すると勘違い．実際は屈折によって，振動数や周期は変化しません！
- $\dfrac{\sin \theta_{1}}{\sin \theta_{2}}=\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\dfrac{n_{1}}{n_{2}}$と覚えている．つまり，屈折率の分母と分子を逆にして覚えている．
特に，3はとても間違いやすいので，次のように覚えておくとよいでしょう．
$n_{1}\sin \theta_{1}=n_{2}\sin \theta_{2}$
$n_{1}v_{1}=n_{2}v_{2}$
$n_{1}\lambda_{1}=n_{2}\lambda_{2}$
あと，もう1つ！
中学生の頃も同じ間違いをしたかもしれませんが，入射角や屈折角は屈折面に垂直な線，つまり法線からのなす角です！屈折面からのなす角ではありません！
(1)の解答
問題では，法線からのなす角がとられているので，安心して屈折の法則を立てましょう．空気の屈折率が$1$，プリズムの屈折率が$n$なので，屈折の法則より
$1\cdot \sin \theta_{1}=n\cdot \sin \theta_{1}^{\prime} $
つまり，⑤が正解です．
プリズムの問題で着目する3つのこと
プリズムの問題では次の3つのことに気づかないといけません．
① 4点が同一円周上にあることに気づく．
上図のAは入射する点，Bは屈折する点，Pはプリズムの頂点，QはAを通る法線とBを通る法線との交点です．このとき
PAQBは同一円周上にある
ことに気づきましょう．同一円周上にある理由は簡単です．$\angle \rm{PAQ}=\angle \rm{PBQ}=90°$だからです．円周角の定理の逆ですね．
すると，AQの延長線上のQ側の一点をRとして，円に内接する四角形の対角の和が$180°$であることから，次のことが成り立ちます．
$\angle \rm{APB}=\angle \rm{BQR}$
つまり，
$\angle \rm{BQR}=\alpha$
です．
② 外角と内角の和の関係1
次に上図の緑色の三角形に着目します．三角形の外角と内角の和の関係より
$\alpha =\theta_{1}^{\prime}+\theta_{2}^{\prime}$ $\cdots (\ast)$
の関係が成り立ちます．
③ 外角と内角の和の関係2
次にピンクの三角形の外角と内角の関係を考えましょう．
$\delta =(\theta_{1}-\theta_{1}^{\prime})+(\theta_{2}-\theta_{2}^{\prime})$ $\cdots (2\ast)$
(2)の解答
$\alpha =\theta_{1}^{\prime}+\theta_{2}^{\prime}$ $\cdots (\ast)$
$\delta =(\theta_{1}-\theta_{1}^{\prime})+(\theta_{2}-\theta_{2}^{\prime})$ $\cdots (2\ast)$
より，$\theta_{1}^{\prime}$と$\theta_{2}^{\prime}$を消去しましょう．$(2\ast)$より
$\eqalign{\delta &=\theta_{1}+\theta_{2}-(\theta_{1}^{\prime}+\theta_{2}^{\prime})\\&=\theta_{1}+\theta_{2}-\alpha}$
したがって，(2)の答えは③です．
問題の解答
(1) ⑤ (2) ③
今回は屈折の法則とプリズムの偏角の問題でした．
プリズムの偏角の問題は解きなれていないと，時間がかかりそうですね．
プリズムの問題は3つのことに着目して問題を解きましょう！
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