[演習] 共振,共鳴演習1 弦の共振2

分野別
問題

図1(この図の点線は腹が2個の場合を示している.)のように,おんさが弦につながれており,弦の他端は定滑車を通じておもりにつながれている.音叉の振幅は弦の振幅に比べて小さく,音叉と弦の接続部分,および弦と定滑車の接している部分は固定端反射をする.振動数$f_{0}$の音叉を用いて,弦の長さを$L$にしたところ,腹が1個の定常波ができた.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 波長$\lambda_{1}$を求めよ.

(2) 弦を伝わる波の速さ$V_{1}$を求めよ.

弦の長さを$L$とおもりは変えずに音叉の振動数を変化させた.

(3) 腹が2個のときの音叉の振動数$f_{2}$を$V_{1} , L$を用いて表せ.

(4) 腹が3個のときの音叉の振動数$f_{3}$を $V_{1} , L$を用いて表せ .

(5) $n$を自然数として,腹の$n$個のときの音叉の振動数$f_{n}$を $V_{1} , L$を用いて表せ .

(6) 振動数を$F$にしたところ,ちょうど定常波ができた.このときの腹の数を$L , F , V_{1}$を用いて表せ.

PHYさん
PHYさん

共鳴,共振の問題では,

「定常波ができるとき」

の問題がほとんどです.

そこで,次のことに着目して解きましょう.

定常波の問題で知っておくこと

定常波の問題では次のことをあらかじめ知っておくとよい.

1. 固定端反射する場所は定常波の節になり,自由端反射する場合は定常波の腹となる.

2.波長を$\lambda$とする.定常波の隣り合う腹と節の距離は$\dfrac{1}{4}\lambda$

<解答>

(1) 

PHYさん
PHYさん

音叉と弦の接点と定滑車と弦の接点がともに固定端反射する場所なので,ここが定常波の節です.腹が1個の定常波ができるとのことなので,次のような図を考えることができますね.

弦の長さが$L$なので

$L=\dfrac{2}{4}\lambda_{1}$

$\therefore \lambda_{1}=2L$ (答)

(2) 

波の基本式

波が伝わる速さを$v$,媒質の振動の周期を$T$,振動数を$f$,波の波長を$\lambda$とすると,次の関係式が成り立つ.

$v=\dfrac{\lambda}{T}=f\lambda$

波の基本式に, $ \lambda_{1}=2L $を代入して

$\eqalign{V_{1}&=f_{0}\cdot \lambda_{1}&=2f_{0}L}$ (答)

(3)

NEKO
NEKO

$L$が変化しないので,波長が変化して腹の数が変わります.

弦を伝わる速さは弦の線密度や弦にはたらいている張力の大きさで決まります

今回はどちらも変化していないので,速さは変化しません.

NEKO
NEKO

腹が2個になるときの波長を$\lambda_{2}$としましょう.

上図より,腹が1個で$\dfrac{2\lambda_{2}}{4}$なので,2個で

$\dfrac{2\lambda_{2}}{4}\times 2$

です.これが$L$と等しいので

$L= \dfrac{2\lambda_{2}}{4}\times 2 $

$\therefore \lambda_{2}=L$

波の基本式より振動数を求めましょう.

★ 波の基本式

$V_{1}=f_{2}\lambda_{2}$

$\therefore f_{2}=\dfrac{V_{1}}{\lambda_{2}}=\dfrac{V_{1}}{L}$ (答)

(4)

NEKO
NEKO

腹が3個の場合も同じように計算します.

今回の波長は$\lambda_{3}$とします.

$L=\dfrac{2\lambda_{3}}{4}\times 3$

$\therefore \lambda_{3}=\dfrac{2}{3}L$

★ 波の基本式

$V_{1}=f_{3}\lambda_{3}$

$\therefore f_{3}=\dfrac{V_{1}}{\lambda_{3}}=\dfrac{3V_{1}}{2L}$ (答)

(5) 

NEKO
NEKO

波長を$\lambda_{n}$とすると,腹の数が$n$個なので

$L=\dfrac{2\lambda_{n}}{4}\times n$

$\therefore \lambda_{n}=\dfrac{2L}{n}$

★ 波の基本式

$V_{1}=f_{n}\lambda_{n}$

$\therefore f_{n}=\dfrac{V_{1}}{\lambda_{n}}=\dfrac{nV_{1}}{2L}$ (答)

(6) 腹の数を$N$個とし,このときの波長を$\lambda_{N}$とする.波の基本式より

$V_{1}=F\lambda_{N}$

$\therefore \lambda_{N}=\dfrac{V_{1}}{F}$ $\cdots (\ast)$

また,腹1個で$\dfrac{2\lambda_{N}}{4}$の長さなので,$N$個では,$\dfrac{2\lambda_{N}}{4}\times N$である.これが$L$と等しいので

$L= \dfrac{2\lambda_{N}}{4}\times N $ $\cdots (2\ast)$

$(\ast) , (2\ast)$より$\lambda_{N}$を消去し,$N$を求めると

$L=\dfrac{V_{1}}{2F}\times N$

$\therefore N=\dfrac{2FL}{V_{1}}$ (答)

コメント

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