前回の内容はこちらです.
(1),(2)は前回と同じで(3)以降が異なる問題です.
共鳴,共振の問題では,
「定常波ができるとき」
の問題がほとんどです.
そこで,次のことに着目して解きましょう.
(1)
音叉と弦の接点と定滑車と弦の接点がともに固定端反射する場所なので,ここが定常波の節です.腹が1個の定常波ができるとのことなので,次のような図を考えることができますね.
弦の長さが$L$なので
$L=\dfrac{2}{4}\lambda_{1}$
$\therefore \lambda_{1}=2L$ (答)
(2)
波の基本式に, $ \lambda_{1}=2L $を代入して
$\eqalign{V_{1}&=f_{0}\cdot \lambda_{1}&=2f_{0}L}$ (答)
(3)
腹の数と弦の長さが分かっているので波長の計算ができます.
波長を$\lambda_{2}$としましょう.
上図から
$L=\dfrac{2\lambda_{2}}{4}\times 2$
すなわち
$\lambda_{2}=L$
です.
$\lambda_{1}=2L$だったので,波長が$\dfrac{1}{2}$倍になっています.
波の基本式
$V=f\lambda$
の$f$(振動数)は変化せず(問題文に書かれています.)$\lambda$が$\dfrac{1}{2}$倍になるので,左辺の弦が伝わる速さも$\dfrac{1}{2}$倍になります.
問題文に書かれているように,張力の大きさ$S$と線密度$\rho$,波が弦を伝わる速さ$V$は
$V=\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$
です.今回は線密度$\rho$は変化しないので,$S$を変化させて$V$を$\dfrac{1}{2}$倍にします.
右辺に$\sqrt{}$がかかっていることに注意して張力$S$を$\dfrac{1}{4}$倍にすると,$V$が$\dfrac{1}{2}$倍になります.
だから,おもりのおもさを
$\dfrac{1}{4}$倍 (答)
にすればよいのです.
(4)
同じように計算していきます.
腹が3つだと,波長$\lambda_{3}$は
$L=\dfrac{2\lambda_{3}}{4}$
より
$\lambda_{3}=\dfrac{2L}{3}$
$\lambda_{1}=2L$なので,波長は$\dfrac{1}{3}$倍です.
波の基本式
$V=f\lambda$
について,振動数が変化しないので,右辺が波長が$\dfrac{1}{3}$倍だと,左辺の波の速さも$\dfrac{1}{3}$倍です.
さらに,
$V=\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$
線密度が変化しないので,左辺の波の速さが$\dfrac{1}{3}$倍だと,右辺の張力が$\dfrac{1}{9}$倍となります.(※まるで腹の数が変化した結果おもりが$1/9$倍になるような書き方ですが,実際は反対で,おもりを$1/9$倍にすると,腹の数が3つになります.)
したがって,おもりの重さは
$\dfrac{1}{9}$倍 (答)
(5)
腹が$n$個→ 波長が$\dfrac{1}{n}$倍
$V=f\lambda$と振動数が変化しないことから
波長が$\dfrac{1}{n}$倍→波の伝わる速さも$\dfrac{1}{n}$倍
$V=\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$ と線密度が変化しないことから
速さが$\dfrac{1}{n}$倍→張力が$\dfrac{1}{n^{2}}$倍
したがって,おもりを$\dfrac{1}{n^{2}}$倍(答)にすると腹が$n$個できる.
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