[演習] 共振,共鳴演習1 弦の共振1

分野別
問題

図1(この図の点線は腹が2個の場合を示している.)のように,おんさが弦につながれており,弦の他端は定滑車を通じておもりにつながれている.音叉の振幅は弦の振幅に比べて小さく,音叉と弦の接続部分,および弦と定滑車の接している部分は固定端反射をする.振動数$f_{0}$の音叉を用いて,弦の長さを$L$にしたところ,腹が1個の定常波ができた.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 波長$\lambda_{1}$を求めよ.

(2) 弦を伝わる波の速さ$V_{1}$を求めよ.

次に,音叉の振動数,おもりの重さ,弦の種類などは変えずに,弦の長さのみを変えた.次の問いに答えよ.

(3) 腹が2個のときの弦の長さ$L_{2}$を求めよ.

(4) 腹が3個のときの弦の長さ$L_{3}$を求めよ.

(5) $n$を自然数として,腹が$n$個のときの弦の長さ$L_{n}$を求めよ.

(6) 弦の長さを$l$にしたとき,ちょうど定常波ができた.いくつの腹の定常波か.$L, l$を用いて表せ.

PHYさん
PHYさん

共鳴,共振の問題では,

「定常波ができるとき」

の問題がほとんどです.

そこで,次のことに着目して解きましょう.

定常波の問題で知っておくこと

定常波の問題では次のことをあらかじめ知っておくとよい.

1. 固定端反射する場所は定常波の節になり,自由端反射する場合は定常波の腹となる.

2.波長を$\lambda$とする.定常波の隣り合う腹と節の距離は$\dfrac{1}{4}\lambda$

<解答>

(1) 

PHYさん
PHYさん

音叉と弦の接点と定滑車と弦の接点がともに固定端反射する場所なので,ここが定常波の節です.腹が1個の定常波ができるとのことなので,次のような図を考えることができますね.

弦の長さが$L$なので

$L=\dfrac{2}{4}\lambda_{1}$

$\therefore \lambda_{1}=2L$ (答)

(2) 

波の基本式

波が伝わる速さを$v$,媒質の振動の周期を$T$,振動数を$f$,波の波長を$\lambda$とすると,次の関係式が成り立つ.

$v=\dfrac{\lambda}{T}=f\lambda$

波の基本式に, $ \lambda_{1}=2L $を代入して

$\eqalign{V_{1}&=f_{0}\cdot \lambda_{1}&=2f_{0}L}$ (答)

(3)

NEKO
NEKO

腹が2個の場合は次のような図になるね.

NEKO
NEKO

はじめの状態からの 2倍分の長さになっているから

$L_{2}=2L$ (答)

です.

(4)

NEKO
NEKO

腹が3つの場合は,はじめの状態からの3倍分の長さだね.

$L_{3}=3L$ (答)

(5) 

NEKO
NEKO

腹が$n$個の場合も同じようにして,はじめの状態からの$n$倍分の長さになっているので,

$L_{n}=nL$ (答)

(6) 

NEKO
NEKO

1個あるときの弦の長さが$L$なので,求める腹の数を$x$個とすると,次の式が成り立つね.

$L\times x=l$

$\therefore x=\dfrac{l}{L}$ (答)

コメント

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