類題
<解答>
まず，空気から空気に対する屈折率$n\,(>1)$のガラス板に入射した上図において
$\alpha=\gamma>\beta$
が成り立つ．このことを示しておく．
速さ$v_{1}$，波長$\lambda_{1}$の波が入射角$\theta_{1}$で屈折面に入射し，その後屈折角が$\theta_{2}$，速さ$v_{2}$，波長が$\lambda_{2}$となった．入射側の媒質の屈折率を$n_{1}$，屈折する側の媒質の屈折率を$n_{2}$とすると，次の関係が成り立つ．
$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}}$
また，屈折により，媒質の振動数$f$および周期$T$は変化しないことから，次のことが成り立つ．
$\dfrac{v_{1}}{v_{2}}=\dfrac{\cancel{f}\lambda_{1}}{\cancel{f}\lambda_{2}}=\dfrac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$
一方，屈折率との関係は次のようになる．
$n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}$
$n_{1}v_{1}=n_{2}v_{2}$
$n_{1}\lambda_{1}=n_{2}\lambda_{2}$
最後に，$n_{12}=\dfrac{n_{2}}{n_{1}}$を屈折率$n_{1}$の媒質に対する屈折率$n_{2}$の媒質の相対屈折率という．
屈折の法則より
$1\times \sin\alpha=n\sin\beta \cdots (\ast)$ かつ $n\sin\beta=1\times \sin\gamma \cdots (2\ast)$
$(\ast)，(2\ast)$より，$\sin\alpha=\sin\gamma$だから，$\alpha=\gamma$．また，$(\ast)$より，$\sin\beta=\dfrac{\sin\alpha}{n}$であり，$n>1$より，$\sin\beta<\sin\alpha$だから，$\beta<\alpha$
以上より，
$\alpha=\gamma>\beta$
これをもとに図をかくと下のようになる．
空気とガラス板$(n=1.5)$との間での屈折の法則より
$1.0\times \sin\theta_{1}=1.5\times \sin\theta_{2}$
ただし，問題文にかかれているように，真上から見ているため，$\theta_{1}，\theta_{2}，\theta_{3}$は非常に小さく，
$\theta_{1}\fallingdotseq \tan\theta_{1}\fallingdotseq \theta_{1}$，$\theta_{2}\fallingdotseq \tan\theta_{2}\fallingdotseq \theta_{2}$
と近似できるから，屈折の法則は
$\theta_{1}=1.5\theta_{2}$ $\,\,\therefore\,\,\theta_{2}=\dfrac{\theta_{1}}{1.5} \cdots (3\ast) $
と近似できる．
同様に，空気とガラス板$(n=1.2)$との間での屈折の法則より
$1.0\times \sin\theta_{1}=1.2\times \sin\theta_{3}$
同じように近似して
$\theta_{1}=1.2\theta_{3}$ $\,\,\therefore\,\,\theta_{3}=\dfrac{\theta_{1}}{1.2} \cdots (4\ast) $
次に，Aにある物体（絵）のみかけの深さを$h$として，$\rm JH$の長さを2通りで表わす．上図の赤い直角三角形に着目すると
${\rm JH}=h\tan\theta_{1}\fallingdotseq h\theta_{1}$ $\cdots (5\ast)$
$\rm JH=BC+DE+FG+HI$でもある．${\rm AB}=10\,\rm cm$，$\rm CD=30\,\rm cm$，$\rm EF=30\,cm$，$\rm GH=30\,cm$なので，上の青色，緑色，ピンク，黄緑の4つの直角三角形に着目して
$\eqalign{{\rm JH}&={\rm BC+DE+FG+HI}\\&=10\tan\theta_{1}+30\tan\theta_{2}+30\tan\theta_{1}+30\tan\theta_{3}\\&\fallingdotseq 10\theta_{1}+30\theta_{2}+30\theta_{1}+30\theta_{3}\\&=40\theta_{1}+30\theta_{2}+30\theta_{3}}$
$(3\ast)，(4\ast)$を用いて，${\rm JH}$を$\theta_{1}$のみにすると
${\rm JH}=40\theta_{1}+30\times \dfrac{\theta_{1}}{1.5}+30\times \dfrac{\theta_{1}}{1.2}=85\theta_{1} \cdots (6\ast)$
$(5\ast)，(6\ast)$より
$h\theta_{1}=85\theta_{1}$ $h=85\,\rm cm$
したがって，床からの高さは$100-85=15\,\rm cm$（③）（答）
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