速度交換

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PHYさん
PHYさん

今回は,速度交換についての話です.

次のことを確認しましょう.

速度交換

2つの物体の質量が同じで,反発係数$1$の正面衝突をする.

このとき,2つの物体の速度は衝突前後で交換される.

※ 運動量が保存しない状況では×

一次元衝突についての証明

<設定>

質量$m$の2つの物体A,Bの一次元衝突を考える.

A,Bの衝突前の速度をそれぞれ$v_{1}$,$v_{2}$とし,衝突後の速度をそれぞれ$v_{1}^{\prime}$,$v_{2}^{\prime}$とする.

★ 運動量保存則

$mv_{1}+mv_{2}=mv_{1}^{\prime}+mv_{2}^{\prime}$ 

$\therefore v_{1}+v_{2}=v_{1}^{\prime}+v_{2}^{\prime}$ $\dots (\ast)$

★ 反発係数の式

$1=-\dfrac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{v_{1}-v_{2}}$

$\therefore v_{1}-v_{2}=-v_{1}^{\prime}+v_{2}^{\prime}$ $\dots (2\ast)$

$(\ast)+(2\ast)$より

$2v_{1}=2v_{2}^{\prime}$

$\therefore$ $v_{2}^{\prime}=v_{1}$

$(\ast)-(2\ast)$より

$2v_{2}=2v_{1}^{\prime}$

$\therefore v_{1}^{\prime}=v_{2}$

NEKO
NEKO

確かに,速度が交換されているね.

二次元運動の衝突への応用

<設定>

質量が同じ物体AとBが水平面上で運動している.衝突前のAの速度が$v_{\rm A}=(0 , v)$,Bの速度が$v_{\rm B}=(-v , 0)$であった.衝突の瞬間はAとBの中心線が$y$軸に平行であった.

また,衝突の際のAとBの間の摩擦は無視する.

NEKO
NEKO

AとBの衝突後の$x$方向の速度は変化しないね.

一方,$y$軸方向の速度は速度が交換されるので,Aが$0$,Bの速度が$v$になり,Bは$(-v , v)$の速度になるんだね.

コメント

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