図1のように，ばね定数$k$のばねの下端を地面に固定し，鉛直に立て，円筒に入れる．自然長におけるばねの上端の位置を原点として，鉛直上向きに$z$軸をとる．加速度や力の向きも鉛直上向きを正とする．以下の問では，鉛直方向にのみ動くことができるばねと小球の運動を考える．ただし，ばねの質量および小球の大きさは無視し，摩擦および空気抵抗は考えないものとする．また，重力加速度の大きさを$g$とする．
問1 質量$m$の小球1をのせたばねが静止するつり合いの位置の座標を$z=z_{0}$とする．$z_{0}$を$m$，$k$，$g$を用いて表せ．
図2のように，この小球1がばねの上方から落下してくる場合を考えよう．
問2 問1の$z_{0}$を用いて$z$とは別の変数$x$を$x=z-z_{0}$と定義する．落下してきた小球1はばねを収縮させる．小球1の座標が$z(z\leqq 0)$のときの，小球1に加わるすべての力の合力を，$z$ではなく$x$を用いて表せ．
問3 落下してきた小球1は，ばねを収縮させながら下降した．その後小球1は上昇に転じ，ある時点でばねから離れた．この瞬間の小球1の$z$座標を求めよ．
次に，ばねの上端に質量$m$の小球2を固定し，つりあいの位置に静止させ，そこに質量$m$の小球1をつりあいの位置より$h$だけ高いところから初速度$0$で落下させ，小球2に衝突させる（図3）．ただし，衝突による2つの小球の速度の変化に，ばねは影響を与えないものとする．
弾性衝突の場合を考えよう．
問4 小球1が小球2に衝突した直後の小球2の速さを求めよ．
問5 衝突の後，小球2は最初降下し，その後上昇に転じた．ばねが最も短くなったとき，つりあいの位置からばねが縮んだ長さ$L$を$h$，$m$，$k$，$g$を用いて表せ．ただし，この間に小球1が再び小球2に衝突することはなかった．
問5において小球2が上昇に転じた後，小球2はつりあいの位置にもどる前に小球1と再び衝突した．そのときばねは，つりあいの位置から$l$だけ縮んでいた．
問6 その後，小球1は上昇した後下降に転じた．小球1が最高点に達したときの$x(=z-z_{0})$を$h$，$l$，$m$，$k$，$g$を用いて表せ．ただし，この間に2つの小球が衝突することはなかった．
問7 $l=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$であったとすると，$h$はいくらか．$z_{0}$のみを用いて答えよ．
＜解答＞
問1 つりあいの式より
$mg=k|z_{0}|$
$z_{0}<0$であるから，$|z_{0}|=-z_{0}$より
$z_{0}=-\dfrac{mg}{k}$ (答)
問2 座標$z$においてはたらく力の合力$F$は
$\eqalign{F&=-mg+k|z|\\&=-kz-mg}$
$z=z_{0}+x=-\dfrac{mg}{k}+x$を上式に代入して
$\eqalign{F&=-k\left(-\dfrac{mg}{k}+x\right)-mg\\&=-kx}$ (答)
問3
小球は自然長で離れます．
次のように理解しておくとよいです．
小球とばねの間に質量の無視できる板をはさみます．
質量が無視できるので，板の合力は常に$0$です．
（運動方程式より，質量×加速度＝力の和の質量が$0$なので，力の和は0です．）
板と小球の間の垂直抗力の大きさを$N$とします．
ばねが$\varDelta l$縮んでいる状況を考えて，小球にはたらく力は鉛直上向きに弾性力$k\varDelta l$と小球との間の垂直抗力が鉛直下向きに$N$となります．
板は常につり合っているので
$N=k\varDelta l$
垂直抗力が$0$になる（つまり，小球と板が離れる）のは$\varDelta l=0$なので，自然長のときに小球は板から離れます．
したがって，答えは$z=0$ (答)
問4
小球1と小球2が衝突する直前の小球1の速度$v_{1}$を力学的エネルギー保存則より求めましょう．
★ 力学的エネルギー保存則
$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}=mgh$
$v_{1}<0$より
$\therefore v_{1}=-\sqrt{2gh}$
★ 速度交換
速度交換より，衝突後の小球1の速度と小球2の速度$v_{1}^{\prime}$，$v_{2}^{\prime}$はそれぞれ
$v_{1}^{\prime}=0$
$v_{2}=-\sqrt{2gh}$
したがって，衝突後の小球2の速さは$\sqrt{2gh}$ (答)
問5
小球2は中心が$z_{0}(x=0)$で，中心での速さが$\sqrt{2gh}$の単振動をしています．
（問2でも計算しましたが）念のため加速度を$\alpha$として運動方程式を立ててみると
$m\alpha=-k(z-z_{0})$
となります．
すると，単振動のエネルギー保存を立てることができます．
単振動の運動方程式が
$ma=-k(x-x_{0})$
になるとき，単振動のエネルギー保存
$\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}k(x-x_{0})^{2}=$一定
が成り立つ．
※ $(x-x_{0})^{2}$は中心からの距離の2乗を表している．自然長からの距離ではない．
※ 上記の運動方程式を変形したものなので，摩擦力や重力がはたらいてもその仕事をいれないでよい．
★ 単振動のエネルギー保存
$\dfrac{1}{2}kL^{2}=\dfrac{1}{2}m(v_{1}^{\prime})^{2}$
$\eqalign{L&=|v_{1}^{\prime}|\sqrt{\dfrac{m}{k}}\\&=\sqrt{2gh}\cdot \sqrt{\dfrac{m}{k}}\\&=\sqrt{\dfrac{2mgh}{k}}}$
したがって，ばねの伸び$L$は，$L=\sqrt{\dfrac{2mgh}{k}}$ (答)
問6
２度目の衝突後の最高点に達し後の$x$を求めるためには何が必要なのかを考えてみましょう．
上図の①は1回目の衝突直後です．
この後，小球１は初速度0の自由落下をし，小球2は単振動してもどってきます．（問題文に書かれていますが，戻ってきた後に小球1と衝突します．）
②は2回目の衝突前の，③が2回目の衝突後，④が小球1が最高点に達したときの図です．
すると，小球1の最高点$X$を求めるには，③における小球1の速度の情報が欲しいです．
そして，そのためには，②における小球2の速度の情報が必要になります．
なぜかというと，②と③の間で再び速度交換がおこるからです．
それでは，2回目衝突前の小球2の速度$V_{2}$を求めてみましょう．
★ ①と②の間の小球2の単振動のエネルギー保存
$\dfrac{1}{2}mV_{2}^{2}+\dfrac{1}{2}kl^{2}=\dfrac{1}{2}m(-\sqrt{2gh})^{2}$
$\therefore V_{2}^{2}=\dfrac{k}{m}\left(\dfrac{2mgh}{k}-l^{2}\right)$
したがって，2回目の衝突直後の小球1の速度の2乗は速度交換より
$V_{2}^{2}=\dfrac{k}{m}\left(\dfrac{2mgh}{k}-l^{2}\right)$
となります．
最後に，③と④の間で小球①の力学的エネルギー保存則を立てます．
★ 力学的エネルギー保存則
$mg(X+l)=\dfrac{1}{2}mV_{2}^{2}$
$\therefore X=h-l-\dfrac{kl^{2}}{2mg}$ (答)
問7
$l=\dfrac{1}{\sqrt{2}}L$と問5で得た$L=\sqrt{\dfrac{2mgh}{k}}$より
$l=\sqrt{\dfrac{mgh}{k}}$
であることから，小球1が①の状態から$x=-l$に達する時間$t_{1}$と，小球2が①の状態から最下点に達したのち，$x=-l$に達する時間$t_{2}$が同じであるという式を立ててみましょう．
● まずは，時間$t_{1}$から
等加速度運動の式より
$-\sqrt{\dfrac{mgh}{k}}=\dfrac{1}{2}\cdot(-g)t_{1}^{2}$
$\therefore t_{1}^{2}=2\sqrt{\dfrac{mh}{kg}}$ $\dots (\ast)$
● 次に，$t_{2}$について
①のときの時刻を$t=0$として，時刻$t$における小球2の位置$x_{2}$は
$x_{2}=-L\sin\dfrac{2\pi}{T}t$
ただし，$T$は振動の周期で$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$．
$x_{2}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}L$における時刻$t_{2}$を求める．
$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}L=-L\sin\dfrac{2\pi}{T}t$
$\therefore \sin \dfrac{2\pi}{T}t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\dfrac{2\pi}{T}t=\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3}{4}\pi , \dots$
となりますが，$\dfrac{\pi}{4}$は小球2が最下点に達する前なので不適です．
したがって，
$\dfrac{2\pi}{T}t=\dfrac{3}{4}\pi$
$\eqalign{t_{2}&=\dfrac{3}{8}T\\&=\dfrac{3}{4}\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}} \dots (2\ast)$
最後に，$t_{1}=t_{2}$の条件を使いましょう．
計算の都合上
$t_{1}^{2}=t_{2}$
を使います．
$(\ast)$と$(2\ast)$より
$2\sqrt{\dfrac{mh}{kg}}=\left(\dfrac{3}{4}\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\right)^{2}$
より
$h=\dfrac{81\pi^{4}}{1024}\dfrac{mg}{k}$
問1から，$z_{0}=-\dfrac{mg}{k}$より
$z_{0}=-\dfrac{81\pi^{4}}{1024}z_{0}$ (答)
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