[2021年早稲田理工]単振動(前半)

分野別
2021年 早稲田理工 第2問 単振動(前半)

図1のように,ばね定数$k$のばねの下端を地面に固定し,鉛直に立て,円筒に入れる.自然長におけるばねの上端の位置を原点として,鉛直上向きに$z$軸をとる.加速度や力の向きも鉛直上向きを正とする.以下の問では,鉛直方向にのみ動くことができるばねと小球の運動を考える.ただし,ばねの質量および小球の大きさは無視し,摩擦および空気抵抗は考えないものとする.また,重力加速度の大きさを$g$とする.

問1 質量$m$の小球1をのせたばねが静止するつり合いの位置の座標を$z=z_{0}$とする.$z_{0}$を$m$,$k$,$g$を用いて表せ.

図2のように,この小球1がばねの上方から落下してくる場合を考えよう.

問2 問1の$z_{0}$を用いて$z$とは別の変数$x$を$x=z-z_{0}$と定義する.落下してきた小球1はばねを収縮させる.小球1の座標が$z(z\leqq 0)$のときの,小球1に加わるすべての力の合力を,$z$ではなく$x$を用いて表せ.

問3 落下してきた小球1は,ばねを収縮させながら下降した.その後小球1は上昇に転じ,ある時点でばねから離れた.この瞬間の小球1の$z$座標を求めよ.

次に,ばねの上端に質量$m$の小球2を固定し,つりあいの位置に静止させ,そこに質量$m$の小球1をつりあいの位置より$h$だけ高いところから初速度$0$で落下させ,小球2に衝突させる(図3).ただし,衝突による2つの小球の速度の変化に,ばねは影響を与えないものとする.

弾性衝突の場合を考えよう.

問4 小球1が小球2に衝突した直後の小球2の速さを求めよ.

問5 衝突の後,小球2は最初降下し,その後上昇に転じた.ばねが最も短くなったとき,つりあいの位置からばねが縮んだ長さ$L$を$h$,$m$,$k$,$g$を用いて表せ.ただし,この間に小球1が再び小球2に衝突することはなかった.

問5において小球2が上昇に転じた後,小球2はつりあいの位置にもどる前に小球1と再び衝突した.そのときばねは,つりあいの位置から$l$だけ縮んでいた.

問6 その後,小球1は上昇した後下降に転じた.小球1が最高点に達したときの$x(=z-z_{0})$を$h$,$l$,$m$,$k$,$g$を用いて表せ.ただし,この間に2つの小球が衝突することはなかった.

問7 $l=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$であったとすると,$h$はいくらか.$z_{0}$のみを用いて答えよ.

<解答>

問1 つりあいの式より

$mg=k|z_{0}|$

$z_{0}<0$であるから,$|z_{0}|=-z_{0}$より

$z_{0}=-\dfrac{mg}{k}$ (答)

問2 座標$z$においてはたらく力の合力$F$は

$\eqalign{F&=-mg+k|z|\\&=-kz-mg}$

$z=z_{0}+x=-\dfrac{mg}{k}+x$を上式に代入して

$\eqalign{F&=-k\left(-\dfrac{mg}{k}+x\right)-mg\\&=-kx}$ (答)

問3 

PHYさん
PHYさん

小球は自然長で離れます.

次のように理解しておくとよいです.

小球とばねの間に質量の無視できる板をはさみます.

質量が無視できるので,板の合力は常に$0$です.

(運動方程式より,質量×加速度=力の和の質量が$0$なので,力の和は0です.)

板と小球の間の垂直抗力の大きさを$N$とします.

ばねが$\varDelta l$縮んでいる状況を考えて,小球にはたらく力は鉛直上向きに弾性力$k\varDelta l$と小球との間の垂直抗力が鉛直下向きに$N$となります.

板は常につり合っているので

$N=k\varDelta l$

垂直抗力が$0$になる(つまり,小球と板が離れる)のは$\varDelta l=0$なので,自然長のときに小球は板から離れます.

したがって,答えは$z=0$ (答)

問4 

NEKO
NEKO

小球1と小球2が衝突する直前の小球1の速度$v_{1}$を力学的エネルギー保存則より求めましょう.

★ 力学的エネルギー保存則

$\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}=mgh$

$v_{1}<0$より

$\therefore v_{1}=-\sqrt{2gh}$

★ 速度交換

速度交換より,衝突後の小球1の速度と小球2の速度$v_{1}^{\prime}$,$v_{2}^{\prime}$はそれぞれ

$v_{1}^{\prime}=0$

$v_{2}=-\sqrt{2gh}$

したがって,衝突後の小球2の速さは$\sqrt{2gh}$ (答)

問5 

NEKO
NEKO

小球2は中心が$z_{0}(x=0)$で,中心での速さが$\sqrt{2gh}$の単振動をしています.

(問2でも計算しましたが)念のため加速度を$\alpha$として運動方程式を立ててみると

$m\alpha=-k(z-z_{0})$

となります.

すると,単振動のエネルギー保存を立てることができます.

単振動のエネルギー保存

単振動の運動方程式が

$ma=-k(x-x_{0})$

になるとき,単振動のエネルギー保存

$\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}k(x-x_{0})^{2}=$一定

が成り立つ.

※ $(x-x_{0})^{2}$は中心からの距離の2乗を表している.自然長からの距離ではない.

※ 上記の運動方程式を変形したものなので,摩擦力や重力がはたらいてもその仕事をいれないでよい.

★ 単振動のエネルギー保存

$\dfrac{1}{2}kL^{2}=\dfrac{1}{2}m(v_{1}^{\prime})^{2}$

$\eqalign{L&=|v_{1}^{\prime}|\sqrt{\dfrac{m}{k}}\\&=\sqrt{2gh}\cdot \sqrt{\dfrac{m}{k}}\\&=\sqrt{\dfrac{2mgh}{k}}}$

したがって,ばねの伸び$L$は,$L=\sqrt{\dfrac{2mgh}{k}}$ (答)

問6 

PHYさん
PHYさん

2度目の衝突後の最高点に達し後の$x$を求めるためには何が必要なのかを考えてみましょう.

青が小球1 緑が小球2
PHYさん
PHYさん

上図の①は1回目の衝突直後です.

この後,小球1は初速度0の自由落下をし,小球2は単振動してもどってきます.(問題文に書かれていますが,戻ってきた後に小球1と衝突します.)

②は2回目の衝突前の,③が2回目の衝突後,④が小球1が最高点に達したときの図です.

すると,小球1の最高点$X$を求めるには,③における小球1の速度の情報が欲しいです.

そして,そのためには,②における小球2の速度の情報が必要になります.

なぜかというと,②と③の間で再び速度交換がおこるからです.

それでは,2回目衝突前の小球2の速度$V_{2}$を求めてみましょう.

★ ①と②の間の小球2の単振動のエネルギー保存

$\dfrac{1}{2}mV_{2}^{2}+\dfrac{1}{2}kl^{2}=\dfrac{1}{2}m(-\sqrt{2gh})^{2}$

$\therefore V_{2}^{2}=\dfrac{k}{m}\left(\dfrac{2mgh}{k}-l^{2}\right)$ 

PHYさん
PHYさん

したがって,2回目の衝突直後の小球1の速度の2乗は速度交換より

$V_{2}^{2}=\dfrac{k}{m}\left(\dfrac{2mgh}{k}-l^{2}\right)$

となります.

最後に,③と④の間で小球①の力学的エネルギー保存則を立てます.

★ 力学的エネルギー保存則

$mg(X+l)=\dfrac{1}{2}mV_{2}^{2}$

$\therefore X=h-l-\dfrac{kl^{2}}{2mg}$ (答)

問7 

PHYさん
PHYさん

$l=\dfrac{1}{\sqrt{2}}L$と問5で得た$L=\sqrt{\dfrac{2mgh}{k}}$より

$l=\sqrt{\dfrac{mgh}{k}}$

であることから,小球1が①の状態から$x=-l$に達する時間$t_{1}$と,小球2が①の状態から最下点に達したのち,$x=-l$に達する時間$t_{2}$が同じであるという式を立ててみましょう.

● まずは,時間$t_{1}$から

等加速度運動の式より

$-\sqrt{\dfrac{mgh}{k}}=\dfrac{1}{2}\cdot(-g)t_{1}^{2}$

$\therefore t_{1}^{2}=2\sqrt{\dfrac{mh}{kg}}$ $\dots (\ast)$

● 次に,$t_{2}$について

①のときの時刻を$t=0$として,時刻$t$における小球2の位置$x_{2}$は

$x_{2}=-L\sin\dfrac{2\pi}{T}t$

ただし,$T$は振動の周期で$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.

$x_{2}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}L$における時刻$t_{2}$を求める.

$-\dfrac{1}{\sqrt{2}}L=-L\sin\dfrac{2\pi}{T}t$

$\therefore \sin \dfrac{2\pi}{T}t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

PHYさん
PHYさん

$\dfrac{2\pi}{T}t=\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3}{4}\pi , \dots$

となりますが,$\dfrac{\pi}{4}$は小球2が最下点に達する前なので不適です.

したがって,

$\dfrac{2\pi}{T}t=\dfrac{3}{4}\pi$

$\eqalign{t_{2}&=\dfrac{3}{8}T\\&=\dfrac{3}{4}\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}} \dots (2\ast)$

NEKO
NEKO

最後に,$t_{1}=t_{2}$の条件を使いましょう.

計算の都合上

$t_{1}^{2}=t_{2}$

を使います.

$(\ast)$と$(2\ast)$より

$2\sqrt{\dfrac{mh}{kg}}=\left(\dfrac{3}{4}\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\right)^{2}$

より

$h=\dfrac{81\pi^{4}}{1024}\dfrac{mg}{k}$

問1から,$z_{0}=-\dfrac{mg}{k}$より

$z_{0}=-\dfrac{81\pi^{4}}{1024}z_{0}$ (答)

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