導体棒のグラフ対策6

分野別
問題

図のように,水平面に固定された導体レールp,qがある.導体レールは距離$l$を隔てて平行に設置されており,導体レールには,スイッチS,抵抗$R$の電気抵抗,自己インダクタンス$L$のコイルが接続されている.磁束密度の大きさ$B$の一様な磁場を鉛直上向きにかけた状態で質量$m$の導体棒をレールと垂直においた.スイッチが開かれた状態で導体棒に外力を加え,常に導体棒の速度を図の向きに一定の$v_{0}$になるようにした.

スイッチSを閉じた直後の時刻を$0$として,縦軸を回路に流れる電流$i$,横軸を時刻$t$としたときのグラフとして適切なものを次の中から選べ.ただし,a→b→c→dを電流の正の向きとする.

導体棒に生じる誘導起電力の公式(直線運動)

PQ間に生じる誘導起電力の大きさ$V_{\rm{PQ}}$は,PQの長さを$l$,PQ方向に垂直な速さを$v_{\perp}$,導体棒が動く方向と垂直な磁束密度の大きさを$B$とすれば,

$V=v_{\perp}Bl$

導体棒の問題で立てて欲しい3つの式
  1. 回路の式(オームの法則,コンデンサーの基本式,電荷保存則など)
  2. 導体棒の運動に関する式(つり合いの式,運動方程式,運動量保存則など)
  3. 導体棒と回路の系全体のエネルギー収支の式
NEKO
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導体棒に生じる誘導起電力は$v_{0}Bl$で向きは上図のようになります.

また,流れる電流を$i$とすると,コイルに生じる誘導起電力は図のように$-L\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}$となります.

キルヒホッフ則を立てましょう.

★ キルヒホッフ則

$v_{0}Bl-L\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}-Ri=0$

$\therefore L\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}=-Ri+v_{0}Bl$ $\cdots (\ast)$

NEKO
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これは,運動方程式ではないけど,「終端速度型」だね.

「終端速度型」は$t=0$のときと$t=\infty$について考えます.

終端速度型の運動方程式

質量を$m$,加速度を$a$,速度を$v$,$C$を定数とすると

$ma=-kv+C$

は終端速度型の運動方程式である.

終端速度型の運動方程式は次の特徴がある.

十分時間が経つと,速度が一定(加速度が0)になる.

速度が一定になったときの速度を終端速度という.

終端速度は運動方程式に$a=0$を代入して

$0=-kv+C$ $\therefore v=\dfrac{C}{k}$

また,$t=0$のときの速度を$v_{0}$とすると,そのときの加速度($v-t$グラフの傾き)は

$a=\dfrac{-kv_{0}+C}{m}$

となる.

NEKO
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$t=0$のときは$i=0$なので

$\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}=\dfrac{v_{0}BL}{L}\,(>0)$

なので,電流が少しずつ流れはじめるんだね.

しかし,電流が大きくなっていくと,少しずつ$\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}$が小さくなっていきます.

そして,十分時間が経つと$\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}=0$となり,$(\ast)$より

$0= -Ri+v_{0}Bl$

$\therefore i=\dfrac{v_{0}Bl}{R}$

十分時間が経過すると,一定電流$i= \dfrac{v_{0}Bl}{R} $が流れます.また,$\dfrac{\varDelta i}{\varDelta t}=0$なので,もう電流は変化しません.

したがって,答えは④(答)です.

コメント

  1. […] 導体棒のグラフ対策6PHYさん前回の内容はこちらです.問題図のように,水… […]