導体棒のグラフ対策5

分野別
問題

図のように,傾角$\theta$の斜面上に導体レールp,qが距離$l$を隔てて平行に固定されている.また,レールp,qは導線によって,電気容量$C$の帯電していないコンデンサーに接続されている.

図のように磁束密度の大きさ$B$の磁場を斜面に垂直な方向にかけ,質量$m$の導体棒をレールp,qに垂直になるように,静止させておく.

導体棒のおさえを取り除くと導体棒は動き始めた.動き始めたときの時刻を$0$としたとき,縦軸を導体棒の速度$v$,横軸を時刻$t$としたときのグラフとして適当なものを次の①~④の中から選べ.

ただし,導体棒とレールp,qの間に摩擦力がはたらかないとし,重力加速度の大きさを$g$とする.

導体棒に生じる誘導起電力の公式(直線運動)

PQ間に生じる誘導起電力の大きさ$V_{\rm{PQ}}$は,PQの長さを$l$,PQ方向に垂直な速さを$v_{\perp}$,導体棒が動く方向と垂直な磁束密度の大きさを$B$とすれば,

$V=v_{\perp}Bl$

導体棒の問題で立てて欲しい3つの式
  1. 回路の式(オームの法則,コンデンサーの基本式,電荷保存則など)
  2. 導体棒の運動に関する式(つり合いの式,運動方程式,運動量保存則など)
  3. 導体棒と回路の系全体のエネルギー収支の式
電気容量の定義式

コンデンサーに蓄えられている電荷を$Q$,コンデンサー間の電圧を$V$とすれば,コンデンサーの電気容量$C$は

$C=\dfrac{Q}{V}$

実際は

$Q=CV$

として使うことが多い.

NEKO
NEKO

今回も,キルヒホッフ則と運動方程式を立てましょう.また,コンデンサーがからむ問題なので,電流の定義式も立てます.

NEKO
NEKO

導体棒の速度を$v$としたとき,導体棒に生じる誘導起電力の大きさは$vBl$です.

回路に流れる電流を図の向きに$i$として,コンデンサーに蓄えられている電荷を$q$としましょう.また,導体棒の加速度は$a$とします.

★ キルヒホッフ則(コンデンサーの基本式)

$q=C\cdot vBl \cdots (\ast)$

★ 電流の定義式

$i=\dfrac{\varDelta q}{\varDelta t}$ $\cdots (2\ast)$

NEKO
NEKO

$(\ast)$と$(2\ast)$より,$q$を消去すると(次に立てる運動方程式に代入するため)

$\eqalign{i&=\dfrac{\varDelta (CvBl)}{\varDelta t}\\&=CBl\cdot \dfrac{\varDelta v}{\varDelta t}}$

加速度の定義を用いれば

$\dfrac{\varDelta v}{\varDelta t}=a$

なので

$i=CBla$ $\cdots (3\ast)$

だね.

NEKO
NEKO

導体棒にはたらく力は上図です.

斜面に平行な成分は重力の斜面平行成分$mg\sin\theta$と,電磁力$iBl$となります.

★ 運動方程式

運動方程式を立てて,$(3\ast)$を代入すると

$\eqalign{ma&=mg\sin\theta-iBl\\&=mg\sin\theta-CBla\cdot Bl\\&=mg\sin\theta-CB^{2}l^{2}a}$

$a$についてまとめて

$(m+CB^{2}l^{2})a=mg\sin\theta$

$a=\dfrac{mg\sin\theta}{m+CB^{2}l^{2}}=一定$

NEKO
NEKO

$a$が一定なので,導体棒は等加速度運動をするんだね.

$v-t$グラフの傾きが加速度だから,傾きが一定の直線になるんだね.つまり,答えは①(答)

コメント

  1. […] 導体棒のグラフ対策5PHYさん前回の内容はこちらです.問題図のように,傾… 問題 […]