2021年共通テスト第2問Bで出題された「2つの導体棒の運動」を題材に次の問題を解いてみましょう．
上図のように，鉛直上向きで磁束密度の大きさ$B$の一様な磁場（磁界）中に，十分長い2本の金属レールが水平面内に間隔$d$で平行に固定されている．その上に導体棒a，bをのせ，静止させた．導体棒a，bの質量は等しく，単位長さあたりの抵抗値は$r$である．導体棒はレールと垂直に保ったまま，レール上を摩擦なく動くものとする．また，自己誘導の影響とレールの電気抵抗は無視できる．
時刻$t=0$に導体棒aにのみ，右向きの初速度$v_{0}$を与えた．
(1) 導体棒が動き出した直後に導体棒aに流れる誘導電流の大きさ$i_{0}$を$B$，$d$，$v_{0}$，$r$から必要なものを用いて表せ．
(2) 時刻$t$において，導体棒a，bの速度はそれぞれ$v_{1}$，$v_{2}$であるとき，加速度は$a_{1}$，$a_{2}$であった．導体棒a，bの質量がともに$m$であるとき，運動方程式を立てることで，導体棒a，bの運動量の和が一定になることを示せ．
(3) (2)の運動方程式より，導体棒aが動き始めてから十分時間が経ったときの導体棒a，bの速度をそれぞれ求めよ．
<解答>
(1)
導体棒が磁場中を動くと起電力が生じるんだったね．
PQ間に生じる誘導起電力の大きさ$V_{\rm{PQ}}$は，PQの長さを$l$，PQ方向に垂直な速さを$v_{\perp}$，導体棒が動く方向と垂直な磁束密度の大きさを$B$とすれば，
$V=v_{\perp}Bl$
導体棒は初速度$v_{0}$で動き始めるので，誘導起電力の大きさは$v_{0}Bd$です．
導体棒の問題は次の3つの式を意識しましょう．
- 回路の式（オームの法則，コンデンサーの基本式，電荷保存則など）
- 導体棒の運動に関する式（つり合いの式，運動方程式，運動量保存則など）
- 導体棒と回路の系全体のエネルギー収支の式
キルヒホッフ則を立てますが，導体棒a，bの抵抗に注意です．
抵抗は$r$ではありません．
「単位長さあたりの抵抗が$r$」と書いてあるので，金属レール間の距離$d$の抵抗を考えて，$dr$となります．
誘導起電力の向きはレンツの法則より，上図のようになります．
したがって，電流の向きは上図のような向きにとり，その大きさを$i$としましょう．
★ キルヒホッフ則
$\eqalign{v_{0}Bd-dr\cdot i-dr\cdot i&=0\cr2dri&=v_{0}Bd\cr i&=\dfrac{v_{0}B}{2r}}$
したがって，$i=\dfrac{v_{0}B}{2r}$
(2)
問題設定通りの速度と加速度で考えていきます．
導体棒a，bに生じる誘導起電力はそれぞれ，$v_{1}Bd$，$v_{2}Bd$となります．
回路に流れる電流を$i$としてキルヒホッフ則を立てましょう．
★ キルヒホッフ則
$\eqalign{v_{1}Bd-v_{2}Bd-dr\cdot i-dr\cdot i&=0\cr i&=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{2r}B \dots (\ast)}$
さらに電流が流れることで導体棒a，bには電磁力がはたらきます．
電磁力の大きさを$f$とすると，流れる電流が$i$であることから
$f=iBd$
$(\ast)$を代入して
$\eqalign{f&=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{2r}B\cdot Bd\\&=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{2r}B^{2}d \dots(2\ast)}$
となります．
さらに，運動方程式より
★ 運動方程式
$ma_{1}=-f$ $\dots (3\ast)$
$ma_{2}=f$ $\dots (4\ast)$
$(3\ast)+(4\ast)$を計算して
$ma_{1}+ma_{2}=0$
さらに，$\dfrac{\Delta v_{1}}{\Delta t}$，$\dfrac{\Delta v_{2}}{\Delta t}$を上式に代入すると
$m\dfrac{\Delta v_{1}}{\Delta t}+m\dfrac{\Delta v_{2}}{\Delta t}=0$
両辺$\Delta t$を代入して
$m\Delta v_{1}+m\Delta v_{2}=0$
上式より，運動量の変化の和が0であることがわかったね．
(3)
今度は$(3\ast)-(4\ast)$を計算してみましょう．
$ma_{1}=-f$ $\dots (3\ast)$と$ma_{2}=f$ $\dots (4\ast)$の差をとって
$m(a_{1}-a_{2})=-2f$
この式に$f=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{2r}B^{2}d$を代入すると
$\eqalign{m(a_{1}-a_{2})&=-2\cdot \dfrac{v_{1}-v_{2}}{2r}B^{2}d\\&=-\dfrac{B^{2}d}{r}(v_{1}-v_{2})}$
ここで，$a^{\prime}=a_{1}-a_{2}$，$v^{\prime}=v_{1}-v_{2}$とおけば
$ma^{\prime}=-\dfrac{B^{2}d}{r}v^{\prime}$ $\dots (5\ast)$
$(5\ast)$は終端速度型の運動方程式だね．
つまり，十分時間が経つと，加速度$a^{\prime}=0$となるよ．
質量を$m$，加速度を$a$，速度を$v$，$C$を定数とすると
$ma=-kv+C$
は終端速度型の運動方程式である．
終端速度型の運動方程式は次の特徴がある．
十分時間が経つと，速度が一定（加速度が0）になる．
速度が一定になったときの速度を終端速度という．
終端速度は運動方程式に$a=0$を代入して
$0=-kv+C$ $\therefore v=\dfrac{C}{k}$
また，$t=0$のときの速度を$v_{0}$とすると，そのときの加速度（$v-t$グラフの傾き）は
$a=\dfrac{-kv_{0}+C}{m}$
となる．
十分時間が経つと，$a^{\prime}=0$となるので，
$v^{\prime}=0$
すなわち
$v_{1}-v_{2}=0$ $\therefore v_{1}=v_{2}$
つまり，最終的には，2つの導体棒の速さは同じになるんだね．
その速さを$V$として，運動量保存則を立てましょう．
★ 運動量保存則
$mv_{0}=mV+mV$
$V=\dfrac{v_{0}}{2}$
今回の共通テストの問題のように，ある程度のヒントがないと，計算が大変なんだね．
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