屈折率$n$からできている凸レンズについて考える．
凸レンズの左側部分である凸面1（緑の部分）は曲率半径$R_{1}$の球の一部であり，凸レンズの右側部分である凸面2（青の部分）は曲率半径$R_{2}$の球の一部である．
凸面1の中心と凸面2の中心を結ぶ光軸上の$\rm A_{1}$から出た光が凸面1，凸面2で屈折し，再び光軸上の点$\rm B_{2}$に到達する．
$\rm A_{1}$と凸面1との距離が$a$，凸面2と$\rm B_{2}$の距離が$b$である．
このとき，$a , b , n , R_{1} , R_{2}$の関係を導きたい．
次の文章の空欄に適切な数式を入れよ．
また，以下で角度$\delta$が非常に小さいとき，$\sin\delta\fallingdotseq \tan\delta \fallingdotseq\delta$を用いてよい．
屈折率1の空気中にある$\rm A_{1}$から光が出て，曲率半径$R_{1}$の凸面1上の点$\rm D_{1}$において屈折し，光軸上の$\rm B_{1}$に到達した．凸面1の中心を$\rm O_{1}$，光軸と凸面1の$\rm A_{1}$に近い方の交点を$\rm C_{1}$，$\rm D_{1}$から光軸に下した垂線の足を$\rm H_{1}$とする．
${\rm C_{1}H_{1}}=t_{1}$，${\rm C_{1}B_{1}}=s$，$\angle{\rm D_{1}A_{1}H_{
1}}=\alpha_{1}$，$\angle{\rm D_{1}O_{1}H_{1}}=\theta_{1}$，$\angle{\rm D_{1}B_{1}H_{1}}=\beta_{1}$，$\rm D_{1}$に入射した光の入射角を$\alpha_{1}^{\prime}$，屈折角を$\beta_{1}^{\prime}$とする．
このとき，屈折の法則より，
$\sin\alpha_{1}^{\prime}=n\sin\beta_{1}^{\prime}$
が成り立つので，$\alpha_{1}^{\prime}$，$\beta_{1}^{\prime}$が小さいとして，$\alpha_{1}^{\prime}$，$\beta_{1}^{\prime}$，$n$の関係式は(1)となる．
また，$\triangle{\rm D_{1}A_{1}O_{1}}$の内角と外角の関係から$\alpha_{1}^{\prime}$，$\alpha_{1}$，$\theta_{1}$の関係式は(2)である．
また，$\triangle{\rm D_{1}O_{1}B_{1}}$の三角形の内角と外角の関係も考えて，$\beta_{1}$，$\beta_{1}^{\prime}$，$\theta_{1}$の関係は(3)である．
(1)，(2)，(3)より，$\alpha_{1}$，$\beta_{1}$，$\theta_{1}$，$n$の関係は(4)となる．
一方，$\triangle\rm D_{1}A_{1}H_{1}$より
$\tan\alpha_{1}=\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{a+t_{1}}$
さらに，$t_{1}\fallingdotseq 0$とすれば
$\tan\alpha_{1}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{a}$
$\alpha_{1}$が小さいとき，$\alpha_{1}\fallingdotseq$(5)となる．
同様にして，$\beta_{1}$，$\theta_{1}$それぞれを$R_{1}$，$s$，$\rm D_{1}H_{1}$から必要なものを用いて表すと，$\beta_{1}\fallingdotseq$(6)，$\theta_{1}\fallingdotseq$(7)となる．(5)，(6)，(7)を(4)に代入すると，$a$，$R_{1}$，$s$，$n$の関係式は(8)となる．
次に凸面2で屈折するときを考える．
凸面2の球の中心を$\rm O_{2}$，光線が凸面で屈折する点を$\rm D_{2}$，$\rm D_{2}$で屈折した光と光軸との交点を$\rm B_{2}$，入射光線と光軸との交点を$\rm B_{1}$，$\rm D_{2}$から光軸へ下した垂線の足を$\rm H_{2}$，凸面2と光軸の交点のうち，$\rm B_{2}$に近い方を$\rm C_{2}$とする．
${\rm C_{1}C_{2}}=t$，${\rm C_{2}H_{2}}=t_{2}$，${\rm C_{2}B_{2}}=b$，$\angle{\rm D_{2}O_{2}H_{2}}=\theta_{2}$，$\angle{\rm D_{2}B_{2}H_{2}}=\beta_{2}$，$\angle{\rm D_{2}B_{1}H_{2}}=\alpha_{2}$，$\rm D_{2}$のおける入射角を$\beta_{2}^{\prime}$，屈折角を$\alpha_{2}^{\prime}$とする．
このとき，$\rm D_{2}$における屈折の法則より
$n\sin\beta_{2}^{\prime}=\sin\alpha_{2}^{\prime}$
$\beta_{2}^{\prime}$，$\alpha_{2}^{\prime}$が十分小さいとき，$\beta_{2}^{\prime}$，$\alpha_{2}^{\prime}$の関係式は(9)となる．
$\triangle{\rm D_{2}O_{2}B_{2}}$について，内角と外角の関係より，$\alpha_{2}^{\prime}$，$\theta_{2}$，$\beta_{2}$の関係式は(10)となる．また，$\triangle{\rm D_{2}O_{2}B_{1}}$について，内角と外角の関係より，$\alpha_{2}$，$\beta_{2}^{\prime}$，$\theta_{2}$の関係式は(11)となる．
(9)，(10)，(11)より，$\alpha_{2}$，$\beta_{2}$，$\theta_{2}$，$n$の関係式は(12)となる．
一方，$\triangle{\rm D_{2}B_{1}H_{2}}$について
$\tan\alpha_{2}=\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{s-t+t_{2}}$
$t\fallingdotseq 0$，$t_{2}\fallingdotseq 0$とすれば，上式は
$\tan\alpha_{2}\fallingdotseq \dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{s}$
さらに，$\alpha_{2}$が非常に小さいとして，$\alpha_{2}\fallingdotseq$(13)となる．
$\triangle{\rm D_{2}B_{2}H_{2}}$，$\triangle{\rm D_{2}O_{2}H_{2}}$についても同様に考える．$R_{2}$，$b$，$\rm D_{2}H_{2}$から必要なものを用いて，$\beta_{2}\fallingdotseq$(14)，$\theta_{2}\fallingdotseq$(15)となる．
(13)，(14)，(15)を(12)に代入すると，$s$，$b$，$R_{2}$，$n$の関係式は(16)となる．
(8)と(16)より，$s$を消去すると，$a$，$b$，$n$，$R_{1}$，$R_{2}$の関係式は(17)である．
＜解答＞
問題の誘導に従って計算していけば解けるようになっています．
(1)
問題文で，「角度$\delta$が非常に小さいとき，$\sin\delta\fallingdotseq \tan\delta \fallingdotseq\delta$を用いてよい．」と書かれているので，この近似式を使っていきましょう．
$\sin\alpha_{1}^{\prime}=n\sin\beta_{1}^{\prime}$
において，$\sin\alpha_{1}^{\prime}\fallingdotseq \alpha_{1}^{\prime}$，$\sin\beta_{1}^{\prime}\fallingdotseq \beta_{1}^{\prime}$として
$\alpha_{1}^{\prime}=n\beta_{1}^{\prime}$ (答)
(2)
上図の赤色で囲まれた三角形の内角と外角の関係より
$\alpha_{1}^{\prime}=\alpha_{1}+\theta_{1}$ (答)
(3)
同じく，上図の赤色で囲まれた三角形の内角と外角の関係より
$\theta_{1}=\beta_{1}+\beta_{1}^{\prime}$
$\therefore$ $\beta_{1}^{\prime}=\theta_{1}-\beta_{1}$ (答)
(4)
(2)の$\alpha_{1}^{\prime}=\alpha_{1}+\theta_{1}$と(3)の$\beta_{1}^{\prime}=\theta_{1}-\beta_{1}$を(1)の$\alpha_{1}^{\prime}=n\beta_{1}^{\prime}$に代入して
$\alpha_{1}+\theta_{1}=n(\theta_{1}-\beta_{1})$ (答)
(5)(6)(7)
いずれも$t_{1}\fallingdotseq 0$として，上図の青の直角三角形，赤の直角三角形，黄色の直角三角形の正接（$\tan$）を考え，「角度$\delta$が非常に小さいとき，$\sin\delta\fallingdotseq \tan\delta \fallingdotseq\delta$」の近似を用いると
$\tan\alpha_{1}\fallingdotseq \dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{a}$ $\therefore$ $\alpha_{1}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{a}$ (答)
$\tan\beta_{1}\fallingdotseq \dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{s}$ $\therefore$ $\beta_{1}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{s}$ (答)
$\tan\theta_{1}\fallingdotseq \dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{R_{1}}$ $\therefore$ $\theta_{1}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{R_{1}}$ (答)
(8)
(5)(6)(7)の$\alpha_{1}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{a}$，$\beta_{1}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{s}$，$\theta_{1}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{R_{1}}$を(4)の$\alpha_{1}+\theta_{1}=n(\theta_{1}-\beta_{1})$に代入して
$\eqalign{\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{a}+\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{R_{1}}&=n\left(\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{R_{1}}-\dfrac{\rm D_{1}H_{1}}{s}\right)\cr \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{R_{1}}&=n\left(\dfrac{1}{R_{1}}-\dfrac{1}{s}\right)\cr \dfrac{1}{a}+\dfrac{n}{s}&=\dfrac{n-1}{R_{1}}}$
したがって，答えは$\dfrac{1}{a}+\dfrac{n}{s}=\dfrac{n-1}{R_{1}}$
（9）
(1)と同様の近似をします．
屈折の法則，$n\sin\beta_{2}^{\prime}=\sin\alpha_{2}^{\prime}$より
$n\beta_{2}^{\prime}=\alpha_{2}^{\prime}$ (答)
(10)
上図の赤色の三角形の内角と外角の関係より
$\alpha_{2}^{\prime}=\beta_{2}+\theta_{2}$ (答)
(11)
上図の赤色の三角形の内角と外角の関係より
$\beta_{2}^{\prime}=\alpha_{2}+\theta_{2}$ (答)
(12)
(10)の$\alpha_{2}^{\prime}=\beta_{2}+\theta_{2}$と(11)の$\beta_{2}^{\prime}=\alpha_{2}+\theta_{2}$を(9)の$n\beta_{2}^{\prime}=\alpha_{1}^{\prime}$に代入すると
$n(\alpha_{2}+\theta_{2})=\beta_{2}+\theta_{2}$ (答)
(13)(14)(15)
いずれも$t_{2}\fallingdotseq 0$，$t\fallingdotseq 0$として，上図の青の直角三角形，赤の直角三角形，黄色の直角三角形の正接（$\tan$）を考え，「角度$\delta$が非常に小さいとき，$\sin\delta\fallingdotseq \tan\delta \fallingdotseq\delta$」の近似を用いると
$\tan\alpha_{2}\fallingdotseq \dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{s}$ $\therefore$ $\alpha_{2}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{s}$ (答)
$\tan\beta_{2}\fallingdotseq \dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{b}$ $\therefore$ $\beta_{2}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{b}$ (答)
$\tan\theta_{2}\fallingdotseq \dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{R_{2}}$ $\therefore$ $\theta_{2}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{R_{2}}$ (答)
(16)
(13)(14)(15)の$\alpha_{2}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{s}$，$\beta_{2}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{b}$，$\theta_{2}\fallingdotseq\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{R_{2}}$を(12)の$n(\alpha_{2}+\theta_{2})=\beta_{2}+\theta_{2}$に代入すると
$\eqalign{n\left(\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{s}+\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{R_{2}}\right)&=\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{b}+\dfrac{\rm D_{2}H_{2}}{R_{2}}\cr n\left(\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{R_{2}}\right)&=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{R_{2}}\cr \dfrac{n}{s}&=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1-n}{R_{2}}}$
したがって，答えは$\dfrac{n}{s}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1-n}{R_{2}}$
(17)
(8)の$\dfrac{1}{a}+\dfrac{n}{s}=\dfrac{n-1}{R_{1}}$と(16)の$\dfrac{n}{s}=\dfrac{1}{b}+\dfrac{1-n}{R_{2}}$から$s$を消去すると
$\eqalign{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1-n}{R_{2}}&=\dfrac{n-1}{R_{1}}\cr \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}&=(n-1)\left(\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}\right)}$
したがって，答えは$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=(n-1)\left(\dfrac{1}{R_{1}}+\dfrac{1}{R_{2}}\right)$
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