2つの物体が衝突する際に失われる運動エネルギーについて以下のことが成り立ちます．
質量$m_{1}$の物体1と質量$m_{2}$の物体2の1次元衝突を考える．
ただし，物体1と物体2を物体系としたときの外力からの撃力ははたらかないものとする．（たとえば，壁との衝突，床との衝突など）
物体1，物体2の衝突前の速度を$v_{1}$，$v_{2}$とし，はねかえり係数を$e$とするとき，衝突の前後での物体1と物体2の運動エネルギーの変化$\varDelta K$は，次のように表される．
$\varDelta K=-\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(1-e^{2})(v_{1}-v_{2})^{2}$
必ずしも覚えておくべき式でもないのですが，覚えておくと便利です．
導出していきましょう．
1.運動エネルギーを重心速度と重心からみた相対速度で表す
質量$m_{1}$の物体1と，質量$m_{2}$の物体2の速度をそれぞれ$v_{1}$，$v_{2}$とする．
このとき，運動エネルギーの和$K$は
$K=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}$ $\dots (\ast)$
さらに，物体1と物体2の重心速度を$v_{\rm G}$とし，重心からみた物体1の速度を$v_{\rm G1}$，重心からみた物体2の速度を$v_{\rm G2}$とすると，
$v_{1}=v_{\rm G}+v_{\rm G1}$
$v_{2}=v_{\rm G}+v_{\rm G2}$
と表すことができます．
これを$(\ast)$に代入しましょう．
$\eqalign{K&=\dfrac{1}{2}m_{1}v_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{2}^{2}\\&=\dfrac{1}{2}m_{1}(v_{\rm G}+v_{\rm G1})^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}(v_{\rm G}+v_{\rm G2})^{2}\\&=\dfrac{1}{2}m_{1}(v_{\rm G}^{2}+2v_{\rm G}v_{\rm G1}+v_{\rm G1}^{2})+\dfrac{1}{2}m_{2}(v_{G}^{2}+2v_{\rm G}v_{\rm G2}+v_{\rm G2}^{2})\\&=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+(m_{1}v_{\rm G1}+m_{2}v_{\rm G2})v_{\rm G}+\dfrac{1}{2}m_{1}v_{\rm G1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{\rm G2}^{2} \dots (2\ast)}$
ここで，
重心からみた運動量の和は0
であることを利用して上式に代入しましょう．
「重心からみた運動量の和が0」であることはこちらの記事でも説明しています．
質量$m_{1}$，$m_{2}$の物体がある．
重心からみたそれぞれの速度を$v_{\rm G1}$，$v_{\rm G2}$とすると，次の式が成り立つ．
$m_{1}v_{\rm G1}+m_{2}v_{\rm G2}=0$
すなわち，重心からみた物体の運動量の和は0となる．
$(2\ast)$に$m_{1}v_{\rm G1}+m_{2}v_{\rm G2}=0$を代入しましょう．
$K=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{1}v_{\rm G1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{\rm G2}^{2} \dots (3\ast)$
2.運動エネルギーを重心速度と物体2に対する物体1の相対速度で表す
$v_{\rm G1}=v_{1}-v_{\rm G}$と$v_{\rm G2}=v_{2}-v_{\rm G}$に重心速度
$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
を代入しましょう．
速度$v_{1}$，$v_{2}$をもつ質量$m_{1}$，$m_{2}$の物体がある．
このときの重心速度$v_{\rm G}$は
$v_{\rm G}=\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}$
★ $v_{\rm G1}$について
$\eqalign{v_{\rm G1}&=v_{1}-v_{\rm G}\\&=v_{1}-\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\&=\dfrac{(m_{1}+m_{2})v_{1}}{m_{1}+m_{2}}-\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\&=\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2}) \dots (4\ast)}$
★ $v_{\rm G2}$について
$\eqalign{v_{\rm G2}&=v_{2}-v_{\rm G}\\&=v_{2}-\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\&=\dfrac{(m_{1}+m_{2})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}-\dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\&=-\dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2}) \dots (5\ast)}$
$(4\ast)$，$(5\ast)$を$(3\ast)$に代入しましょう．
$\eqalign{K&=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{1}v_{\rm G1}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}v_{\rm G2}^{2}\\&=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{1}\{\dfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})\}^{2}+\dfrac{1}{2}m_{2}\{-\dfrac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}(v_{1}-v_{2})\}^{2}\\&=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}^{2}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}\\&=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}(m_{1}+m_{2})(v_{1}-v_{2})^{2}\\&=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}}$
3.運動エネルギーの変化を計算する
ここで，重心速度$v_{\rm G}$は衝突の際に物体系外から撃力がはたらかない限り，変化しません．
重心速度が変化するときは，重心加速度が0でないときです．
重心加速度は次の式で求めることができます．
質量$m_{1}$，$m_{2}$の物体の重心の加速度を$a_{\rm G}$とする．2つの物体にはたらいている力をそれぞれ$F_{1}$，$F_{2}$とすると，次の式が成り立つ．
$(m_{1}+m_{2})a_{\rm G}=F_{1}+F_{2}$
この式より，力の和が0のとき（または，力がはたらいても，衝突直前後の非常に短い時間であれば，速度変化は無視できます．）は，重心速度が変化しません．
$K=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}$ $\dots (6\ast)$
衝突後の物体1と物体2の速度を$v_{1}^{\prime}$，$v_{2}^{\prime}$であるとき，重心速度は変化しないとして，物体1と物体2の運動エネルギーの和$K^{\prime}$は次のようになります．
$K^{\prime}=\dfrac{1}{2}(m_{1}+m_{2})v_{\rm G}^{2}+\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m{2}}(v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime})^{2}$ $\dots (7\ast)$
したがって，運動エネルギーの変化$\varDelta K$は次のようになります．
$\eqalign{\varDelta K&=K^{\prime}-K\\&=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m{2}}(v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime})^{2}-\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}\\&=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m{2}}\{(v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime})^{2}-(v_{1}-v_{2})^{2}\} \dots (8\ast)}$
さらに，はねかえり係数$e$の定義より
$e=-\dfrac{v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}}{v_{1}-v_{2}}$
これを変形して
$v_{1}^{\prime}-v_{2}^{\prime}=-e(v_{1}-v_{2})$
$(8\ast)$に代入します．
$\eqalign{\varDelta K&=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m{2}}\{(v_{1}-v_{2})^{2}e^{2}-(v_{1}-v_{2})^{2}\}\\&=\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m{2}}(e^{2}-1)(v_{1}-v_{2})^{2}\\&=-\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m{2}}(1-e^{2})(v_{1}-v_{2})^{2}}$
この式より，$e=0$の完全非弾性衝突の際の運動エネルギーの変化$\varDelta K$は
$\varDelta K=-\dfrac{1}{2}\dfrac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m{2}}(v_{1}-v_{2})^{2}$
となり，力学的エネルギーは必ず減少します．
実際の共通テストの問題では，時間制限もあるため，完全弾性衝突以外の衝突では運動エネルギーが失われるということは知識で解く必要があったかと思います．
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