
図のように,長さ$l$の軽くて伸びない糸の一端を固定し,他端に質量$m$の物体をとりつけ,速さ$v$で円錐振り子運動させる.物体が運動する平面は水平面に平行であり,物体は鉛直線から角度$\theta$を保ちながら円運動している.重力加速度の大きさを$g$として,次の問いに答えよ.
(1) 物体にはたらく張力の大きさを$S$とする.物体の向心方向の運動方程式と,鉛直方向のつり合いの式をそれぞれ立てよ.
(2) 円運動の周期$T$を,$g$,$l$,$\theta$を用いて表せ.
<解答>
(1)

等速円運動の問題で立てて欲しいのは次の2式です.
等速円運動の問題で立てて欲しい2式
- 向心方向の運動方程式
- 周期の式
半径$r$,円運動の接線方向の速さを$v$,角速度を$\omega$とすると,向心加速度の大きさ$a$は
$a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$
向心加速度の向きは円運動の中心


張力の大きさを$S$としたとき向心力の大きさは$S\sin\theta$です.
そして,円運動の半径は$l\sin\theta$です.($l$じゃないよ)
すると,向心方向の加速度は$\dfrac{v^{2}}{l\sin\theta}$です.
向心方向の運動方程式と鉛直方向のつり合いの式を立てましょう.
★ 向心方向の運動方程式
$m\dfrac{v^{2}}{l\sin\theta}=S\sin\theta$ (答) $\dots (\ast)$
★ 鉛直方向のつり合いの式
$S\cos\theta=mg$ (答) $\dots (2\ast)$
(2) $(2\ast)$より,
$\therefore S=\dfrac{mg}{\cos\theta}$ $\dots (3\ast)$
$(3\ast)$を$(\ast)$に代入して
$m\dfrac{v^{2}}{l\sin\theta}=\dfrac{mg}{\cos\theta}\cdot \sin\theta$
$\therefore v=\sin\theta\sqrt{\dfrac{gl}{\cos\theta}}$ $(4\ast)$
さらに,周期の式より
$\eqalign{T&=\dfrac{2\pi l\sin\theta}{v}\\&=\dfrac{1}{\sin\theta}\sqrt{\dfrac{\cos\theta}{gl}}\cdot 2\pi l\sin\theta\\&=2\pi\sqrt{\dfrac{l\cos\theta}{g}}}$ (答)
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