[基本]円運動演習1 円錐振り子

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問題

図のように,長さ$l$の軽くて伸びない糸の一端を固定し,他端に質量$m$の物体をとりつけ,速さ$v$で円錐振り子運動させる.物体が運動する平面は水平面に平行であり,物体は鉛直線から角度$\theta$を保ちながら円運動している.重力加速度の大きさを$g$として,次の問いに答えよ.

(1) 物体にはたらく張力の大きさを$S$とする.物体の向心方向の運動方程式と,鉛直方向のつり合いの式をそれぞれ立てよ.

(2) 円運動の周期$T$を,$g$,$l$,$\theta$を用いて表せ.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

等速円運動の問題で立てて欲しいのは次の2式です.

等速円運動

等速円運動の問題で立てて欲しい2式

  • 向心方向の運動方程式
  • 周期の式
円運動の加速度

半径$r$,円運動の接線方向の速さを$v$,角速度を$\omega$とすると,向心加速度の大きさ$a$は

$a=\dfrac{v^{2}}{r}=r\omega^{2}$

向心加速度の向きは円運動の中心

NEKO
NEKO

張力の大きさを$S$としたとき向心力の大きさは$S\sin\theta$です.

そして,円運動の半径は$l\sin\theta$です.($l$じゃないよ)

すると,向心方向の加速度は$\dfrac{v^{2}}{l\sin\theta}$です.

向心方向の運動方程式と鉛直方向のつり合いの式を立てましょう.

★ 向心方向の運動方程式

$m\dfrac{v^{2}}{l\sin\theta}=S\sin\theta$ (答) $\dots (\ast)$ 

★ 鉛直方向のつり合いの式

$S\cos\theta=mg$ (答) $\dots (2\ast)$

(2) $(2\ast)$より,

$\therefore S=\dfrac{mg}{\cos\theta}$ $\dots (3\ast)$

$(3\ast)$を$(\ast)$に代入して

$m\dfrac{v^{2}}{l\sin\theta}=\dfrac{mg}{\cos\theta}\cdot \sin\theta$

$\therefore v=\sin\theta\sqrt{\dfrac{gl}{\cos\theta}}$ $(4\ast)$

さらに,周期の式より

$\eqalign{T&=\dfrac{2\pi l\sin\theta}{v}\\&=\dfrac{1}{\sin\theta}\sqrt{\dfrac{\cos\theta}{gl}}\cdot 2\pi l\sin\theta\\&=2\pi\sqrt{\dfrac{l\cos\theta}{g}}}$ (答)

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