[干渉問題]位相差演習2

波動
PHYさん
PHYさん

前回の内容はこちらです.

引き続き,位相差の演習問題を解いていきましょう.

前回の問題とかなり似ていますが,今回の問題では,$\rm S_{1}$と$\rm S_{2}$は逆位相になっています.

問題

波源$\rm S_{1}$,$\rm S_{2}$があり,波源$\rm S_{1}$では時刻$t$において,$y_{1}=A\sin\left(2\pi ft\right)$で振動していて,波源$\rm S_{2}$では,$y_{2}=A\sin\left(2\pi ft+\pi\right)$で振動している.ただし,$A$は振幅,$f$は振動数であり,どちらも正の定数である.${\rm S_{1}P}=l_{1}$,${\rm S_{2}P}=l_{2}$であるような点$\rm P$がある.このとき,次の問いに答えよ.ただし,伝わる波の波長を$\lambda$とする.
(1) $\rm S_{1}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の変位と$\rm S_{2}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の変位の位相差$\varDelta \varphi$を$\lambda$,$l_{1}$,$l_{2}$を用いて表せ.
(2) 2つの波が強め合うときの条件を整数$k$および,$l_{1}$,$l_{2}$,$\lambda$を用いてかけ.
(3) 2つの波が弱め合うときの条件を整数$k$および,$l_{1}$,$l_{2}$,$\lambda$を用いてかけ.

(1)

NEKO
NEKO

波が伝わる速さを$V$とすると,$\rm S_{1}$から$\rm P$に伝わる波において,$\rm P$で媒質の変位は,時間$\dfrac{l_{1}}{V}$前の$\rm S_{1}$での振動と等しいんだよね.

したがって,媒質の変位$y_{1\rm P}$は

$y_{1\rm P}=A\sin\left\{2\pi f\left(t-\dfrac{l_{1}}{V}\right) \right\}$

NEKO
NEKO

このとき,位相$\varphi_{1}$は,波の基本式,$V=f\lambda$も用いると次のようになります.

$\varphi_{1}=2\pi f\left(t-\dfrac{l_{1}}{V}\right)=2\pi ft-\dfrac{2\pi }{\lambda}l_{1}$

NEKO
NEKO

同じように,$\rm S_{2}$から$\rm P$に伝わる波の$\rm P$における媒質の位相$\varphi_{2}$は

$\varphi_{2}=2\pi f\left(t-\dfrac{l_{2}}{V}\right)+\pi=2\pi ft-\dfrac{2\pi }{\lambda}l_{2}+\pi$

NEKO
NEKO

したがって,位相差$\varDelta \varphi$は

$\varDelta \varphi=\varphi_{1}-\varphi_{2}=\dfrac{2\pi}{\lambda}(l_{2}-l_{1})-\pi$ (答)

(2)

NEKO
NEKO

強め合うのは,$\varDelta \varphi$が$2\pi$の整数倍になるときなので

$\varDelta \varphi=2\pi k$

$\therefore \dfrac{2\pi}{\lambda}(l_{2}-l_{1})-\pi=2\pi k$

NEKO
NEKO

さらに変形すると,

$l_{2}-l_{1}=\left(k+\dfrac{1}{2}\right)\lambda$

のように,よく見る普通(?)の強め合いの条件とは逆の形が出てくるね.

(3)

NEKO
NEKO

弱め合うのは,$\varDelta \varphi$が$\pi$の奇数倍のときなので

$\varDelta \varphi=(2k-1)\pi$

$\therefore \dfrac{2\pi}{\lambda}(l_{2}-l_{1})-\pi=(2k-1)\pi $(答)

NEKO
NEKO

同様に,

$l_{2}-l_{1}=k\lambda$

のように,強め合いの条件のような形を得ることができます.

なんだか紛らわしいね.

PHYさん
PHYさん

位相差で強め合いの条件,弱め合いの条件を立てると,統一的に表現できます.

コメント

  1. […] […]