ヤングの実験演習問題①

ヤングの実験

問題

上図のように単スリット$\rm S$,2スリット$\rm S_{1} , S_{2}$のついたて,スクリーンが平行に設置されている.

スリット$\rm S_{1} , S_{2}$の距離が$d$,スリット$\rm S_{1} , S_{2}$のついたてとスクリーンまでの距離が$L$である.

スリット$\rm S$に空気中での波長$\lambda$の単色光を当てたところ,単色光は$\rm S_{1} , S_{2}$を通り,スクリーンに明暗の縞模様ができた.

(1) 明線との明線の間隔を求めよ.

次にスリット$\rm S_{2}$の前方(左側)に厚さが$D$,空気に対する相対屈折率$n(n>1)$の透明物質を図のようにおいた.このとき,次の問いに答えよ.

(2) 透明物質を入れる前と比べて,明線の位置はどの方向に,どれだけずれるか.

<解答>

(1)

PHYさん
PHYさん

まず,$\rm S_{1}$と$\rm S_{2}$の中点からスクリーンに下した垂線の足を原点$\rm O$として,スクリーン上の上方向を$x$軸の正方向にとります.

そして,座標$x$における明線条件を考えていきましょう.

NEKO
NEKO

経路差の中にある波の数が整数個であれば,強め合うんだったよね.

波の数

波の波長を$\lambda$(波1個分の長さ),波の個数を$N$,波全体の長さを$\Delta L$とすると,次の関係式が成り立つ.

$\Delta L=N\cdot \lambda$

$\therefore N=\dfrac{\Delta L}{\lambda}$

NEKO
NEKO

そして,経路差が

$d\sin\theta\approx \tan\theta \approx d\dfrac{x}{L}$

だから,強め合いの条件は,整数$m$を用いて

$\dfrac{d\dfrac{x}{L}}{\lambda}=m$ $\dots (\ast)$

となるんだったね.

ここで,$|m|$は波の数に相当するんだったね.

$m$自体は次数と呼ばれているよ.

次数$m$の座標であることを強調して,$x$→$x_{m}$と表現してみましょう.

$(\ast)$について

$\eqalign{\dfrac{d\dfrac{x_{m}}{L}}{\lambda}&=m\cr d\dfrac{x_{m}}{L}&=m\lambda \cr x_{m}&=\dfrac{mL\lambda}{d}}$

PHYさん
PHYさん

明線の間隔$\Delta x$は

$\Delta x=x_{m+1}-x_{m}$

ですね.

$\eqalign{\Delta x&=x_{m+1}-x_{m}\\&=\dfrac{(m+1)L\lambda}{d}-\dfrac{mL\lambda}{d}\\&=\dfrac{L\lambda}{d}}$

答えは$\Delta x=\dfrac{L\lambda}{d}$

(2) 

NEKO
NEKO

透明物質を入れても経路が変化しないから,何も変わらないんじゃないの?

PHYさん
PHYさん

本質は経路差ではありません.

位相差です.

光が透明物質に入ることによって,波の数の差が生じます.

次の図をみてください.

PHYさん
PHYさん

光が屈折率$n$の物質に入ると,波長は$\dfrac{1}{n}$倍になります.

そのため,透明物質がある分,波の数の差ができます.

NEKO
NEKO

つまり,波の数の差で式を立てると,次のようになるんだね.

$\dfrac{d\dfrac{x_{m}^{\prime}}{L}}{\lambda}+\left(\dfrac{D}{\dfrac{\lambda}{n}}-\dfrac{D}{\lambda}\right)=m$

$\therefore x_{m}^{\prime}=\dfrac{mL\lambda}{d}-\dfrac{(n-1)LD}{d}$

もともと,$x_{m}=\dfrac{mL\lambda}{d}$であったので,これを代入すると

$x_{m}^{\prime}=x_{m}-\dfrac{(n-1)LD}{d}$

NEKO
NEKO

$n>1$だから,透明物質を入れると,$x$軸の負の向きに$\dfrac{(n-1)LD}{d}$ずれるんだね.

コメント

  1. […] ヤングの実験演習問題①問題上図のように単スリット$rm S$,2スリット$rm … NEKO […]

  2. […] ヤングの実験演習問題①問題上図のように単スリット$rm S$,2スリット$rm … […]