[演習]波の式が与えられたときの,波が伝わる速さの求め方

波動
問題

位置$x$における時刻$t$の媒質の変位$y$が正の定数$A$,$B$,$C$を用いて

$y=A\cos(Bt+Cx)$ $\dots (\spadesuit)$

と表される.

$(\spadesuit)$を満たす正弦波について,次の問いに答えよ.

(1) 正弦波の波長$\lambda$を$B$,$C$から必要なものを用いて表せ.

(2) 媒質の振動の周期$T$を$B$,$C$から必要なものを用いて表せ.

(3) 波の伝わる速度を$v$を$B$,$C$から必要なものを用いて表せ.ただし,$x$軸の正方向に波が伝わるとき,速度は正であるとする.

<解答>

(1) 

NEKO
NEKO

波長は波1個分の長さのことです.

時間を$t=t_{0}$と固定して位置を$x$から$x+\varDelta x$に変化させたときの$\cos$の中(位相といいます)の変化が$2\pi$になるときの$\varDelta x$が$\lambda$になります.

$\{Bt_{0}+C(x+\varDelta x)\}-(Bt_{0}+Cx)=2\pi$

$\therefore$ $C\varDelta x=2\pi$

$\varDelta x=\lambda$より

$\lambda=\dfrac{2\pi}{C}$ (答)

(2) 

NEKO
NEKO

媒質の振動の周期は,媒質が1回振動するのにかかる時間です.

媒質の位置を$x=x_{0}$と固定して,$t$から$t+\varDelta t$と変化させたときの位相($\cos$の中)の変化が$2\pi$であるときの$\varDelta t$が周期$T$です.

$\{B(t+\varDelta t)+Cx_{0}\}-(Bt+Cx_{0})=2\pi$

$\therefore$ $B\varDelta t=2\pi$

$\varDelta t=T$より

$T=\dfrac{2\pi}{B}$ (答)

(3) 

NEKO
NEKO

波が伝わる速度$v$は,時間$\varDelta t$経ったときに波が変化した位置を$\varDelta x$とするとき

$v=\dfrac{\varDelta x}{\varDelta t}$

です.

時刻が$t$から$t+\varDelta t$だけ変化して,同じ位相(上図では山部分)の部分が$x$から$x+\varDelta x$に変化したときに次の式が成り立ちます.

この2つが同位相($\cos$の中が同じ)であることを利用して

$B(t+\varDelta t)+C(x+\varDelta x)=Bt+Cx$

$B\varDelta t+C\varDelta x=0$

$\dfrac{\varDelta x}{\varDelta t}=-\dfrac{B}{C}$

したがって,波の伝わる速度$v$は$v=-\dfrac{B}{C}$(答)

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