対称性がある回路の合成抵抗1

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問題

抵抗値$R$の5つの電気抵抗を上図のように,抵抗の無視できる導線で結んだ.

AB間の合成抵抗を求めよ.

PHYさん
PHYさん

抵抗は次のように定義しています.

オームの法則

抵抗に流れる電流が$I$,電圧を$V$,抵抗値を$R$とするとき,

$V=RI$

が成り立つ.

合成抵抗を求めるときは,$\dfrac{V}{I}$を計算する.

PHYさん
PHYさん

Aから電流$I$が流れたときに,AB間にかかる電圧を$V$とします.

このとき,$\dfrac{V}{I}$の値がAB間の合成抵抗となります.

NEKO
NEKO

回路の対称性からAから電流$I$が流れ込んだとき,上図の上側と下側に$\dfrac{I}{2}$ずつ流れます.

また,キルヒホッフ第1法則より,Bから電流$I$が流れ出ていきます.

やはり,対称性からP→BとQ→Bに流れる電流はどちらも$\dfrac{I}{2}$になります.

その結果,PQ間には電流が流れないことが確認できます.

電圧降下の式を立てると次のようになります.

A→P→B経路を考えてみましょう.

★ 電圧降下の式(Bの電位を基準の0として,Aの電位を$V$とします)

$V-R\cdot \dfrac{I}{2}-R\cdot \dfrac{I}{2}=0$

$\therefore \dfrac{V}{I}=R$ (答)

NEKO
NEKO

結果,合成抵抗は$R$ということがわかったね.

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