[基本]単振動の演習問題⑨　運動方程式を立てる5

<解答>

(1)　

位置$x$における物体の加速度を$a$とします．

ベルトコンベアは十分速く，つねに図の左向き（進行する方向と反対方向）に摩擦力を受けるので，その反作用で物体はつねに右向きに摩擦力を受けます．

このように，物体にはたらく摩擦力の向きがわからない場合は，あえてベルトコンベアの摩擦力について考えてみるもの1つの手です．

したがって，物体の運動方程式は

$ma=-kx+\mu^{\prime}mg=-k\left(x-\dfrac{\mu^{\prime}mg}{k}\right)$

となります．

この運動方程式から中心座標は

$x_{0}=\dfrac{\mu^{\prime}mg}{k}$

角振動数は

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

周期は

$T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$

となります．

(2)　

$x=0$で速度が0なのでここが振動の端っこです．

また，振動の中心が$x_{0}=\dfrac{\mu^{\prime}mg}{k}$なので，$x=0$が左端であることがわかります．

したがって，左端から中心までの距離である振幅$A$は$A=\dfrac{\mu^{\prime}mg}{k}$となります．

また，最小の場所から$x$軸の正の方向へスタートするので，$-\cos$型ですね．

これらのことから，時刻$t$における物体の位置$x$は

$x=x_{0}-A\cos \omega t=\dfrac{\mu^{\prime}mg}{k}-\dfrac{\mu^{\prime}mg}{k} \cos \omega t$

となります．

摩擦力の向きさえわかれば，いままでと同様に解ける問題でした．

<解答>

(1)　

棒の重心が$x$であるときに棒にはたらく力を図示すると上図のようになります．

回転棒2と棒の間の垂直抗力がはたらく場所をモーメントの中心とすると，棒にはたらく重力$mg$は反時計回りのモーメントでその大きさは$(l-x)mg$であり，$N_{1}$は時計回りのモーメントでその大きさは$2lN_{1}$となります．

力のモーメントのつり合いの式より

$(l-x)mg-2lN_{1}=0$　$\therefore$　$N_{1}=\dfrac{l-x}{2l}mg$

また，回転棒1と棒の間の垂直抗力がはたらく場所をモーメントの中心とすると，棒にはたらく重力$mg$は時計回りのモーメントでその大きさは$(x+l)mg$であり，$N_{2}$は反時計回りのモーメントでその大きさは$2lN_{2}$となります．

力のモーメントのつり合いの式より

$2lN_{2}-(x+l)mg=0$ $\therefore$　$N_{2}=\dfrac{l+x}{2l}mg$

(2)　

次に，棒の水平成分の運動を考えます．

棒の重心が$x$にあるときの棒の加速度を$a$とします．

回転棒1は棒との接触部分の場所で左方向に摩擦力を受けているので，その反作用で棒は右方向に動摩擦力$\mu N_{1}$を受けています．

同様に，回転棒2は棒との接触部分の場所で右方向に摩擦力を受けているので，その反作用で棒は左方向に動摩擦力$\mu N_{2}$を受けます．

動摩擦力は$\mu mg$ではありません，注意です．

すると，運動方程式は

$\eqalign{ma&=\mu N_{1}-\mu N_{2} \\&=\mu \dfrac{l-x}{2l}mg-\mu \dfrac{l+x}{2l}mg\\&=-\dfrac{\mu mg}{l}x}$

この運動方程式より，中心座標は$x_{0}=0$，角振動数は$\omega=\sqrt{\dfrac{\mu g}{l}}$，周期は$T=2\pi \sqrt{\dfrac{l}{\mu g}}$となります．

(3)　

(2)より中心座標がわかりました．

問題では$x=L_{0}$からスタートし，この場所は速度が0なので，振動の右端となります．

振動の右端と中心までの距離が振幅$A$なので，$A=L_{0}$です．

また，右端（最高点）から$x$軸の負の向きにスタートするので$\cos$型ですね．

したがって，時刻$t$における棒の重心の位置$x$は

$x=x_{0}+A\cos \omega t=L_{0} \cos \sqrt{\dfrac{\mu g}{l}}t$