<問題>
<解答>
「安定なつり合い・不安定なつり合い」の問題はこちらもあります．
つり合いの位置から少しずらしても元に戻る状態を「安定なつり合い」といい，つり合いの位置から少しずらすと大きく離れてしまう状態を「不安定なつり合い」という．
つり合いの位置から少しずらしたときを考えてみる．具体的には，AにあるおもりをOまわりに微小角度$\theta$だけ回転したときのOまわりの力のモーメントを考える．
反時計回りを力のモーメントの正の向きとしたとき，力のモーメントの和が正であれば，よりもとの位置から離れてしまうので不安定なつり合いだし，力のモーメントの和が負であれば，元の位置にもどるので安定なつり合いである．
Aを反時計回りに微小角度$\theta$回転させると，B・Cの水平方向からの角度は上図のように$\dfrac{\pi}{3}-\theta，\dfrac{\pi}{3}+\theta$となる．(ただし，それぞれの角度が90度未満になる方の角度をとっている)
このままOまわりの力のモーメントの和を計算するのは大変そうなので，「作用線平行移動の原理」を用いる．（詳しい説明はこちら）
中心を$\rm O$とし，ある始点にはたらく力のモーメントを計算するとき，力の作用線上のどこに移動させても力のモーメントは同じである．
上のように，Oを通って水平な軸まで力の始点を移動すると簡単に計算できる．${\rm OA=OB=OC}=L$とすると，
${\rm OA}=L\cos\theta$
${\rm OB}=L\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)$
${\rm OC}=L\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)$
となる．
Oを中心とし，反時計回りを正とする．$5mg$の力は時計回りなので，力のモーメントは負．$3mg，7mg$は反時計回りなので，力のモーメントは正である．力のモーメントの和を$N$とすると
$\eqalign{N&=3mg\times L\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)+7mg\times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)-5mg\times L\cos\theta\\&=mgL\left\{3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)+7\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)-5\cos\theta\right\}}$
$N$の正負を知りたいだけなので，$3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)+7\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)-5\cos\theta \cdots (\ast)$だけに着目する．
加法定理で展開すると
$\eqalign{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\theta\right)&=\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\theta+\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\theta\\&=\dfrac{1}{2}\cos\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta}$
$\eqalign{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+\theta\right)&=\cos\dfrac{\pi}{3}\cos\theta-\sin\dfrac{\pi}{3}\sin\theta\\&=\dfrac{1}{2}\cos\theta-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta}$
したがって，$(\ast)$は
$\eqalign{(\ast)&=3\left(\dfrac{1}{2}\cos\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\right)+7\left(\dfrac{1}{2}\cos\theta-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\right)-5\cos\theta\\&=-2\sqrt{3}\sin\theta\,\,<0}$
力のモーメントの和が負なので，Aを反時計回りに少しだけ回転させると，元の位置にもどろうとする．
一方，$\theta\to -\theta$（時計回りに少しだけ回転させるとき）とすると，力のモーメントの和は
$-2\sqrt{3}\sin(-\theta)=2\sqrt{3}\sin\theta\,\,>0$
より，力のモーメントは正．反時計回りに少しだけ回転させると，やはりもとにもどろうとする．
以上から，この問題の答えは安定なつり合い(答)
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