上図のように，一辺の長さ$a$の正方形極板A，Bを距離$d$だけ隔てて固定し，コンデンサーをつくる．
このコンデンサーに一辺の長さが$\dfrac{a}{2}$，高さ$\dfrac{d}{2}$で，比誘電率$\varepsilon_{r}$の誘電体を次図のような位置に挿入する．
このとき，誘電体を挿入したときのコンデンサーの合成容量を求めよ．
ただし，このコンデンサーは真空中にあるとし，真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とする．
＜解答＞
平行板コンデンサーの電気容量の式と，合成の式を使って，効率的に計算してみましょう．
面積$S[\rm m^2]$の平らな導体板2枚を距離$d[\rm m]$だけ隔てて固定する．
真空の誘電率を$\varepsilon_{0}[\rm F/m]$とする．真空中において，このコンデンサーの電気容量$C_{0}[\rm F]$は次のようになる．
$C_{0}=\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}$
1.直列合成
電気容量$C_{1}$，$C_{2}$，$\dots$，$C_{n-1}$，$C_{n}$の$n$個のコンデンサーを直列に結ぶ．
上図のように，点線で囲まれた各部分の電荷の和が0のとき，この$n$個のコンデンサーの合成容量$C$は次のような関係式を満たす．
$\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_{1}}+\dfrac{1}{C_{2}}+\dots +\dfrac{1}{C_{n-1}}+\dfrac{1}{C_{n}}$
2.並列合成
電気容量$C_{1}$，$C_{2}$，$\dots$，$C_{n-1}$，$C_{n}$の$n$個のコンデンサーを直列に結ぶ．
この$n$個のコンデンサーの合成容量$C$は次のような関係式を満たす．
$C=C_{1}+C_{2}+\dots +C_{n-1}+C_{n}$
真空部分と誘電体部分に分けてみると，次のようになるね．
左側部分の電気容量を$C_{1}$，右側の真空部分の電気容量を$C_{2}$，右側の誘電体部分の電気容量を$C_{3}$としましょう．
まずは，$C_{2}$と$C_{3}$を直列合成し，その電気容量$C_{23}$を求め，次に，$C_{1}$と$C_{23}$を並列合成し，その電気容量$C_{123}$を求めます．
★ $C_{1}$の電気容量
$\eqalign{C_{1}&=\varepsilon_{0}\dfrac{\dfrac{a}{2}\cdot a}{d}\\&=\varepsilon_{0}\dfrac{a^{2}}{2d}}$
★ $C_{2}$の電気容量
$\eqalign{C_{2}&=\varepsilon_{0}\dfrac{\dfrac{a}{2}\cdot a}{\dfrac{d}{2}}\\&=\varepsilon_{0}\dfrac{a^{2}}{d}}$
誘電体が挿入された場合の電気容量は次のようになるんだったね．
極板面積$S$の平板A，Bを距離$d$だけ隔てて固定しておく．
真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$とすると，極板A，Bに何も入っていない場合の電気容量$C_{0}$は次のようになる．
$C_{0}=\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}$
このコンデンサーに比誘電率$\varepsilon_{\rm r}$，誘電率$\varepsilon$の誘電体で満たすとき，電気容量$C$は次のようになる．
$\eqalign{C&=\varepsilon\dfrac{S}{d}\\&=\varepsilon_{\rm r}\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}\\&=\varepsilon_{\rm r}C_{0}}$
また，$\varepsilon_{0}$，$\varepsilon$，$\varepsilon_{\rm r}$は次の関係がある．
$\varepsilon_{\rm r}=\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$
★ $C_{3}$の電気容量
コンデンサーの形状，面積，極板間の距離は$C_{2}$と同じなので，
$\eqalign{C_{3}&=\varepsilon_{r}C_{2}\\&=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\dfrac{a^{2}}{d}}$
★ $C_{2}$と$C_{3}$の合成
直列合成をする．
$\eqalign{\dfrac{1}{C_{23}}&=\dfrac{1}{C_{2}}+\dfrac{1}{C_{3}}\\&=\dfrac{d}{\varepsilon_{0}a^{2}}+\dfrac{d}{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}a^{2}}\\&=\dfrac{d}{\varepsilon_{0}a^{2}}(1+\dfrac{1}{\varepsilon_{r}})\\&=\dfrac{(\varepsilon_{r}+1)d}{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}a^{2}}}$
$\therefore$ $C_{23}=\dfrac{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}a^{2}}{(\varepsilon_{r}+1)d}$
★ $C_{1}$と$C23$の合成
並列合成する．
$\eqalign{C_{123}&=C_{1}+C_{23}\\&=\varepsilon_{0}\dfrac{a^{2}}{2d}+\dfrac{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}a^{2}}{(\varepsilon_{r}+1)d}\\&=\varepsilon_{0}\dfrac{a^{2}}{d}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\varepsilon_{r}}{\varepsilon_{r}+1})\\&=\dfrac{\varepsilon_{0}(3\varepsilon_{r}+1)a^{2}}{2(\varepsilon_{r}+1)d}}$
合成の式を使えば，簡単に合成容量を計算できるね．
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