<解答>
平行板コンデンサーの電気容量の式と,合成の式を使って,効率的に計算してみましょう.
真空部分と誘電体部分に分けてみると,次のようになるね.
左側部分の電気容量を$C_{1}$,右側の真空部分の電気容量を$C_{2}$,右側の誘電体部分の電気容量を$C_{3}$としましょう.
まずは,$C_{2}$と$C_{3}$を直列合成し,その電気容量$C_{23}$を求め,次に,$C_{1}$と$C_{23}$を並列合成し,その電気容量$C_{123}$を求めます.
★ $C_{1}$の電気容量
$\eqalign{C_{1}&=\varepsilon_{0}\dfrac{\dfrac{a}{2}\cdot a}{d}\\&=\varepsilon_{0}\dfrac{a^{2}}{2d}}$
★ $C_{2}$の電気容量
$\eqalign{C_{2}&=\varepsilon_{0}\dfrac{\dfrac{a}{2}\cdot a}{\dfrac{d}{2}}\\&=\varepsilon_{0}\dfrac{a^{2}}{d}}$
誘電体が挿入された場合の電気容量は次のようになるんだったね.
★ $C_{3}$の電気容量
コンデンサーの形状,面積,極板間の距離は$C_{2}$と同じなので,
$\eqalign{C_{3}&=\varepsilon_{r}C_{2}\\&=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}\dfrac{a^{2}}{d}}$
★ $C_{2}$と$C_{3}$の合成
直列合成をする.
$\eqalign{\dfrac{1}{C_{23}}&=\dfrac{1}{C_{2}}+\dfrac{1}{C_{3}}\\&=\dfrac{d}{\varepsilon_{0}a^{2}}+\dfrac{d}{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}a^{2}}\\&=\dfrac{d}{\varepsilon_{0}a^{2}}(1+\dfrac{1}{\varepsilon_{r}})\\&=\dfrac{(\varepsilon_{r}+1)d}{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}a^{2}}}$
$\therefore$ $C_{23}=\dfrac{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}a^{2}}{(\varepsilon_{r}+1)d}$
★ $C_{1}$と$C23$の合成
並列合成する.
$\eqalign{C_{123}&=C_{1}+C_{23}\\&=\varepsilon_{0}\dfrac{a^{2}}{2d}+\dfrac{\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}a^{2}}{(\varepsilon_{r}+1)d}\\&=\varepsilon_{0}\dfrac{a^{2}}{d}(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\varepsilon_{r}}{\varepsilon_{r}+1})\\&=\dfrac{\varepsilon_{0}(3\varepsilon_{r}+1)a^{2}}{2(\varepsilon_{r}+1)d}}$
合成の式を使えば,簡単に合成容量を計算できるね.
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