極板間にはたらく力はF=qEではない!

コンデンサー
NEKO
NEKO

上図のように,面積$S$の平行平板コンデンサーがあって,極板に蓄えられている電荷が$Q$,$-Q$とします.

コンデンサー間の電場の大きさを$E$とすると,極板にはたらく引力$F$は

$F=\dfrac{1}{2}QE$

だったんだよ.

なんで,

$F=QE$

じゃないんだろう??

PHYさん
PHYさん

そうですね.

まずは,次の2つを理解しておきましょう.

平面に一様に分布した電荷がつくる電場

十分に広い平面に一様な電荷$Q$が分布している.

真空の誘電率を$\varepsilon_{0}$,平面の面積を$S$とするとき,電場の大きさ$E$は

$E=\dfrac{|Q|}{2\varepsilon_{0}S}$

これは,電場が距離によらず一定であることを意味している.

静電気力

電場の大きさ$E$の場所に電荷$q$をおいたときにはたらく静電気力の大きさ$F$は

$F=|q|E$

※ ただし,この電場$E$は,電荷$q$がつくる電場は含まない.

NEKO
NEKO

それぞれの電荷は次のような電場をつくるんだね.

NEKO
NEKO

電場$E=\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}$は$Q$と$-Q$それぞれがつくった電場を重ね合わせたものだね.

電荷$Q$が受ける力$F$は,電荷$-Q$がつくる電場$\dfrac{E}{2}=\dfrac{Q}{2\varepsilon_{0}S}$を用いて

$F=$$Q$$\cdot$ $\dfrac{E}{2}$

となるんだね.

PHYさん
PHYさん

そういうことです.

$F=\dfrac{1}{2}QE$

というよりは,

$F=Q\cdot \dfrac{E}{2}$

と理解しておくとよいでしょう.

PHYさん
PHYさん

また,極板間にはたらく力は,静電エネルギーの変化を計算することでも確かめることができます.

PHYさん
PHYさん

$-Q$を蓄えている方の極板を固定して,$Q$の方の極板に力を加えてゆっくと距離を$d$から$d+\Delta d$に広げます.

このときに加える力の大きさを$F$として,$\Delta d$が非常に小さいため,力$F$は変化しないとします.

このとき,力$F$した仕事$W$は

$W=F\Delta d$ $\dots (\ast)$

となります.

また,静電エネルギーの変化を$\Delta U$を計算します.

静電エネルギー

電気容量$C$のコンデンサーに電荷$Q$が蓄えられていて,電圧が$V$のときの,静電エネルギー$U$は

$U=\dfrac{1}{2}QV=\dfrac{1}{2}CV^{2}=\dfrac{Q^{2}}{2C}$

★ はじめの静電エネルギー$U_{1}$

$\eqalign{U_{1}&=\dfrac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d}}\\&=\dfrac{Q^{2}d}{2\varepsilon_{0}S}}$

★ 移動後の静電エネルギー$U_{2}$

$\eqalign{U_{2}&=\dfrac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}\dfrac{S}{d+\Delta d}}\\&=\dfrac{Q^{2}(d+\Delta d)}{2\varepsilon_{0}S}}$

★ 静電エネルギーの変化$\Delta U$

$\eqalign{\Delta U&=U_{2}-U_{1}\\&=\dfrac{Q^{2}(d+\Delta d)}{2\varepsilon_{0}S}-\dfrac{Q^{2}d}{2\varepsilon_{0}S}\\&=\dfrac{Q^{2}\Delta d}{2\varepsilon_{0}S} \dots (2\ast)}$

NEKO
NEKO

静電エネルギーの変化$\Delta U$は仕事$W$は等しいので,次の関係式が成り立つね.

$W=F\Delta d$ $\dots (\ast)$と$\Delta U=\dfrac{Q^{2}\Delta d}{2\varepsilon_{0}S}$ $\dots (2\ast)$より

$\eqalign{W&=\Delta U\cr F\Delta d&=\dfrac{Q^{2}\Delta d}{2\varepsilon_{0}S}\cr F\Delta d&=\dfrac{Q^{2}\Delta d}{2\varepsilon_{0}S}}$

したがって

$\eqalign{F&=\dfrac{Q^{2}}{2\varepsilon_{0}S}\\&=Q\cdot \dfrac{Q}{2\varepsilon_{0}S}\\&=Q\cdot \dfrac{E}{2}}$

NEKO
NEKO

$E=\dfrac{Q}{\varepsilon_{0}S}$としました.

たしかに,$F=Q\cdot \dfrac{E}{2}$になったね.

コメント

  1. […] コンデンサーの極板間にはたらく力は$F=QE$ではない […]