レンズの演習問題⑥ レンズの式(凹レンズ)+まとめ

レンズ・鏡
PHYさん
PHYさん

前回は凹レンズを通過する光線の作図の問題を扱いました.

今回は,凹レンズの式についてです.

そして,最後に凸レンズと凹レンズのレンズの式をまとめていきたいと思います.

前回の内容はこちら.

NEKO
NEKO

覚えておいて欲しい代表光線は次の3つです!

凹レンズの3つの代表光線

問題 レンズの式

上図のように,焦点を$\rm F$,$\rm F^{\prime}$とする凹レンズがおかれている.

焦点距離$f$の凹レンズから距離$a$の場所に光源をおくと,虚像ができた.

この虚像と凹レンズとの距離を$b$とする.

このとき,$a$,$b$,$f$の関係式を導け.

<解答>

NEKO
NEKO

まずは,代表光線をかいてみましょう.

その結果,光線はレンズ通過後に発散するので,反対側に線を伸ばして,虚像の位置を確認します.

NEKO
NEKO

次に,光源の高さを$X$,虚像の高さを$Y$として,$X$と$Y$を含む2組の相似な図形について考えましょう.

NEKO
NEKO

すると,上のような赤の相似な図形と緑の相似な図形が見つかるね.

相似比をかいてみると次のようになります.

$\dfrac{Y}{X}=\dfrac{b}{a}$ $\dots (\ast)$

$\dfrac{Y}{X}=\dfrac{f-b}{f}$ $\dots (2\ast)$

$(\ast)$,$(2\ast)$より

$\eqalign{\dfrac{b}{a}&=\dfrac{f-b}{f}\cr bf&=a(f-b)\cr bf-af&=-bf}$

両辺$abf$で割って

$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=-\dfrac{1}{f}$ (答え)

PHYさん
PHYさん

凸レンズも含めてレンズの式を書き出すと次のようになります.

レンズと光源との距離を$a$,レンズの焦点距離を$f$,レンズと像までの距離を$b$とする.

★ 凸レンズ 実像ができるとき

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f}$

★ 凸レンズ 虚像ができるとき

$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f}$

→ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{(-b)}=\dfrac{1}{f}$

★ 凹レンズ 虚像ができる(単体では実像はできない)

$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=-\dfrac{1}{f}$

→ $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{(-b)}=\dfrac{1}{(-f)}$

NEKO
NEKO

なんでわざわざマイナスを括弧の中にいれて変形したの?

PHYさん
PHYさん

式を統一するためです.

レンズの式は次のようにまとめることができます.

レンズの式の統一

レンズと光源との距離を$|a|$,焦点距離を$|f|$,レンズと像との距離を$|b|$とする.

このとき,次の式が成り立つ.

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{f}$

ただし,次の規則で$b$と$f$の正負を決める.

$b>0 \dots$ 実像, $b<0 \dots$ 虚像

$f>0 \dots$ , 凸レンズ $f<0 \dots$ 凹レンズ

NEKO
NEKO

具体的な問題を解いてみたいな.

PHYさん
PHYさん

それでは,いくつか問題を解いてみましょう.

問題 レンズの式の問題

次の問題を解きなさい.

(1) 凸レンズと光源の距離を$30\rm cm$,焦点距離が$15\rm cm$のとき,できる像は実像か虚像か?また,その像とレンズとの距離を求めなさい.

(2) 凹レンズと光源の距離を$15\rm cm$,焦点距離が$30\rm cm$のとき,できる像は実像か虚像か?また,その像とレンズとの距離を求めなさい.

<解答>

(1) 凸レンズなので,$f>0$とする.レンズの式より

$\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{15}$

$\therefore b=30$

$b>0$より,実像ができ,レンズとの距離は$\rm 30cm$

(2) 凹レンズなので,$f<0$とする.レンズの式より

$\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{(-30)}$

$\therefore b=-10$

$b<0$なので,虚像ができ,レンズとの距離は$\rm 10cm$

コメント

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