今回は定常波の式を扱います．
波の式に詳しく知りたい方は，こちらを参考にしてください．
それでは，さっそく問題を解いてみましょう．
原点Oにある媒質の変位$y_{\rm O}$は振幅$A$，周期$T$，時刻$t$を用いて次のように表される．
$y_{\rm O}=A\sin\dfrac{2\pi}{T}t$
このとき，$x$軸上を速さ$v$で伝わる波を考える．
$x=L(L>0)$には壁があり，この壁では自由端反射をするものとする．
原点Oから出発し，直接P（座標$x$）にたどり着く入射波と原点Oから出発し，壁に反射してからPにたどり着く反射波を重ね合わせの原理によって合成することで，Pでの波の式を求めよ．
＜解答＞
Pにおける入射波の変位を$y_{1}$，反射波の変位を$y_{2}$としましょう．
波は振動が遅れて伝わる現象だったね．
OからPまでは時間$\dfrac{x}{v}$だけかかるから，Pにおける入射波の媒質の変位は，時間$\dfrac{x}{v}$前の原点Oにおける媒質の変位と等しいんだね．
$y_{1}=A\sin\dfrac{2\pi}{T}(t-\dfrac{x}{v})$ $\dots (\ast)$
また，Oから反射点Aを経由してPまでの距離は
$L+(L-x)=2L-x$
なので，O→A→Pまでは
$\dfrac{2L-x}{v}$
の時間がかかるね．
このことから，Pにおける反射波の変位は，時間$\dfrac{2L-x}{v}$前のOでの変位と等しいので，$y_{2}$は次のようになります．
$y_{2}=A\sin\dfrac{2\pi}{T}(t-\dfrac{2L-x}{v})$ $\dots (2\ast)$
$y_{1}+y_{2}$がPの媒質の合成波の変位です．
重ね合わせの原理ですね．
2つ以上の波がある場合，その合成波は媒質の変位の足し算となる．
たとえば，青の波と緑の波がある場合，青の波の変位を$y_{青}$，緑の波の変位を$y_{緑}$とすれば，合成波（赤色の波）の変位は，
$y_{合成波}$$=$$y_{青}$$+$$y_{緑}$
ところが，そのままの形では，Pにある媒質がどのように振動するかがわかりにくため，三角関数の和→積の変換式を使います．
三角関数の和→積の変換式（その逆の積→和も同様）は，覚えるのが大変なので，導出方法を知っておくとよいでしょう．
★ $\sin +\sin$について
1. $\sin$の加法定理を書き出す．
$\sin(\alpha +\beta)=\sin\alpha\cos\beta +\cos\alpha\sin\beta$ $\dots (\ast)$
$\sin(\alpha -\beta)=\sin\alpha\cos\beta -\cos\alpha\sin\beta$ $\dots (2\ast)$
2. $(\ast)+(2\ast)$を計算する．
$\sin(\alpha +\beta)+\sin(\alpha -\beta)=2\sin\alpha\cos\beta$ $\dots (3\ast)$
3. $A=\alpha +\beta$，$B=\alpha -\beta$とする．
$A+B=2\alpha$ $\therefore \alpha=\dfrac{A+B}{2}$ $\dots (\clubsuit)$
$A-B=2\beta$ $\therefore \beta=\dfrac{A-B}{2}$ $\dots (\spadesuit)$
4. $(\clubsuit)，(\spadesuit)$を$(3\ast)$に代入
$\sin A+\sin B=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
★ $\cos -\cos$について
1. $\cos$の加法定理を書き出す．
$\cos(\alpha +\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ $\dots (\ast)$
$\cos(\alpha -\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ $\dots (2\ast)$
2. $(\ast)+(2\ast)$を計算する．
$\cos(\alpha +\beta)+\cos(\alpha -\beta)=2\cos\alpha\cos\beta$ $\dots (3\ast)$
3. $A=\alpha +\beta$，$B=\alpha -\beta$
$A+B=2\alpha$ $\therefore \alpha=\dfrac{A+B}{2}$ $\dots (\clubsuit)$
$A-B=2\beta$ $\therefore \beta=\dfrac{A-B}{2}$ $\dots (\spadesuit)$
4. $(\clubsuit)，(\spadesuit)$を$(3\ast)$に代入
$\cos A+\cos B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}$
三角関数の和→積の変換式を使えば，$y_{1}+y_{2}$は次のようになるね．
$y_{1}=A\sin\dfrac{2\pi}{T}(t-\dfrac{x}{v})$，$y_{2}=A\sin\dfrac{2\pi}{T}(t-\dfrac{2L-x}{v})$より
$\eqalign{y_{1}+y_{2}&=2A\sin\dfrac{1}{2}\{\dfrac{2\pi}{T}(t-\dfrac{x}{v})+\dfrac{2\pi}{T}(t-\dfrac{2L-x}{v})\}\cos\dfrac{1}{2}\{\dfrac{2\pi}{T}(t-\dfrac{x}{v})-\dfrac{2\pi}{T}(t-\dfrac{2L-x}{v})\}\\&=2A\sin\dfrac{2\pi}{T}(t-\dfrac{L}{v})\cos\dfrac{2\pi}{T}\cdot\dfrac{L-x}{v}}$
また，波の基本式を使い，$Tv=\lambda$として，並び替えてみましょう．
$y_{1}+y_{2}=$$2A\cos\dfrac{2\pi}{\lambda}(L-x)$$\sin\dfrac{2\pi}{T}(t-\dfrac{L}{v})$ $\dots (\heartsuit)$ (答)
$(\heartsuit)$式の赤い部分は時刻$t$によって変化する部分です．
赤い部分を振動部分と呼びましょう．
一方，青い部分は時刻$t$にはよりません．
つまり，$|2A\cos\dfrac{2\pi}{\lambda}(L-x)|$が振幅です．
この式をみると，振幅は$x$によって変化することがわかります．
振幅が最大になる場所と最小となる場所を探してみましょう．
★ 振幅が最大になる場所
$|2A\cos\dfrac{2\pi}{\lambda}(L-x)|$について，$\cos\dfrac{2\pi}{\lambda}(L-x)=\pm 1$のとき，最大となるので，$m$を整数として
$\dfrac{2\pi}{\lambda}(L-x)=\pi m$
$x=L-\dfrac{m}{2}\lambda$
具体的には，
$x=L , L-\dfrac{\lambda}{2} , L-\lambda, \dots$
このように，振幅が最大となるところを腹（はら）
といいます．
★ 振幅が最小になる場所
$|2A\cos\dfrac{2\pi}{\lambda}(L-x)|$について，$\cos\dfrac{2\pi}{\lambda}(L-x)=0$のとき，最小となるので，$m$を整数として
$\dfrac{2\pi}{\lambda}(L-x)=\dfrac{2m-1}{2}\pi$
$x=L-\dfrac{2m-1}{4}\lambda$
具体的には
$x=L-\dfrac{1}{4}\lambda , L-\dfrac{3}{4}\lambda , \dots$
このように，振幅が0，すなわち，いつまでも振動しないところを節（ふし）といいます．
いままでのことを総合すると，それぞれの媒質の振幅は次のように表すことができるんだね．
このように，波長，振幅，速さが同じで逆方向に進む波が干渉することでできる合成波は，進行しているようには見えずただ振動しているように見えます．
このような波を定常波と言います．
定常波は，最も大きく振動する腹と，一切振動しない節の部分があり，隣り合う腹と節の距離は$\dfrac{1}{4}\lambda$となります．
コメント