[数学Ⅲ]物理の問題1

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問題

時刻$0 \rm s$において,水上$h[\rm m]$の高さの岸壁の上から$l_{0}[\rm m]$の網で引っ張られている船がある.いま,$V[\rm m/s]$の一定速度で網を引いて船を岸に引き寄せると,時刻$t[\rm s]$の船の速さを求めよ.

NEKO
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数学Ⅲの物理の問題は微分,積分を積極的に使います.

船の速さを計算するために,船の座標を下図のように岸を原点として水平方向に$x$座標を設定しましょう.

NEKO
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網を一定の速さ$V$で引っ張るので,$t[\rm s]$後は網の長さが$l_{0}-Vt$となっています.

すると三平方の定理より

$x^{2}+h^{2}=(l_{0}-Vt)^{2}$

$\therefore$ $x=\sqrt{(l_{0}-Vt)^{2}-h^{2}}$

NEKO
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座標$x$を時刻$t$で微分したものが速度$v$です.

$\eqalign{v&=\dfrac{dx}{dt}\\&=(l_{0}-Vt)^{\prime}\cdot 2(V_{0}-Vt)\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{(l_{0}-Vt)^{2}-h^{2}}}\\&=-\dfrac{V(l_{0}-Vt)}{\sqrt{(l_{0}-Vt)^{2}-h^{2}}}}$

NEKO
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速さを聞かれているので,絶対値を取って,

$\dfrac{V(l_{0}-Vt)}{\sqrt{(l_{0}-Vt)^{2}-h^{2}}}$(答)

が求める速さです.

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