こちらの記事では，$y(0 , t)$の式から$y(x , t)$の式の導出をしました．
今回は，$y(x , 0)$から$y(x , t)$の導出です．
上図は時刻$t=0$の位置$x$における媒質の変位$y$を表したグラフである．
媒質の振幅を$A(>0)$，この波の波長を$\lambda$とすると，時刻$t=0$の位置$x$の媒質の変位$y$は
$y(x)=A\sin\dfrac{2\pi x}{\lambda}$ $\dots (\heartsuit)$
と表すことができる．このとき，次の問いに答えよ．
(1) この波は$x$軸の正の方向へ速さ$v$で伝わっている．時刻$t$における位置$x$の媒質の変位$y(x , t)$を表す式を$A$，$x$，$\lambda$，$v$，$t$を用いてかけ．
(2) この波は$x$軸の負の方向へ速さ$v$で伝わっている．時刻$t$における位置$x$の媒質の変位$y(x , t)$を表す式を$A$，$x$，$\lambda$，$v$，$t$を用いてかけ．
まず，そもそもの話として，時刻$t=0$における位置$x$の媒質の変位$y(x)$は
$y(x)=A\sin x$
ではありません．
このままでは，たとえば$x=\lambda$を代入したときにグラフの$2\pi$ラジアンがでてくれません．
次の比例式を使って，$(\heartsuit)$の$\sin$の中身を導きます．
$2\pi : \lambda =\theta : x$
$\therefore$ $\theta =\dfrac{2\pi x}{\lambda}$
このように変形することで，$x$を代入すると，その場所のラジアンがでてきます．
たとえば，$x=\dfrac{\lambda}{4}$を$(\heartsuit)$に代入すると
$\eqalign{y(\dfrac{\lambda}{4})&=A\sin\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot \dfrac{\lambda}{4}\\&=A\sin\dfrac{\pi}{2}\\&=A}$
のように，$x$を代入することで，その場所の媒質の変位$y$がわかります．
＜解答＞
(1)
波が正の方向へ移動しているので，時間$t$経つと，波は上図のように$vt$だけ正方向に平行移動するね．
数学で習った2次関数と同様に平行移動するときは，
$x\rightarrow x-vt$
とすればよいね．
$y(x , t)=A\sin\dfrac{2\pi}{\lambda}(x-vt)$ (答)
(2)
波が負の方向へ移動しているので，時間$t$経つと，波は上図のように$vt$だけ負方向に平行移動するね．
数学で習った2次関数と同様に平行移動するときは，
$x\rightarrow x+vt$
とすればよいね．
$y(x , t)=A\sin\dfrac{2\pi}{\lambda}(x+vt)$ (答)
このように，$y(x , 0)$から，$y(x , t)$を導く際は，平行移動の原理を利用します．
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