$y(x,0)$の式から$y(x , t)$の式へ 平行移動の原理の利用

分野別
問題

上図は時刻$t=0$の位置$x$における媒質の変位$y$を表したグラフである.

媒質の振幅を$A(>0)$,この波の波長を$\lambda$とすると,時刻$t=0$の位置$x$の媒質の変位$y$は

$y(x)=A\sin\dfrac{2\pi x}{\lambda}$ $\dots (\heartsuit)$

と表すことができる.このとき,次の問いに答えよ.

(1) この波は$x$軸の正の方向へ速さ$v$で伝わっている.時刻$t$における位置$x$の媒質の変位$y(x , t)$を表す式を$A$,$x$,$\lambda$,$v$,$t$を用いてかけ.

(2) この波は$x$軸の負の方向へ速さ$v$で伝わっている.時刻$t$における位置$x$の媒質の変位$y(x , t)$を表す式を$A$,$x$,$\lambda$,$v$,$t$を用いてかけ.

PHYさん
PHYさん

まず,そもそもの話として,時刻$t=0$における位置$x$の媒質の変位$y(x)$は

$y(x)=A\sin x$

ではありません.

このままでは,たとえば$x=\lambda$を代入したときにグラフの$2\pi$ラジアンがでてくれません

次の比例式を使って,$(\heartsuit)$の$\sin$の中身を導きます.

$2\pi : \lambda =\theta : x$

$\therefore$ $\theta =\dfrac{2\pi x}{\lambda}$

このように変形することで,$x$を代入すると,その場所のラジアンがでてきます.

たとえば,$x=\dfrac{\lambda}{4}$を$(\heartsuit)$に代入すると

$\eqalign{y(\dfrac{\lambda}{4})&=A\sin\dfrac{2\pi}{\lambda}\cdot \dfrac{\lambda}{4}\\&=A\sin\dfrac{\pi}{2}\\&=A}$

のように,$x$を代入することで,その場所の媒質の変位$y$がわかります.

<解答>

(1)

NEKO
NEKO

波が正の方向へ移動しているので,時間$t$経つと,波は上図のように$vt$だけ正方向に平行移動するね.

数学で習った2次関数と同様に平行移動するときは,

$x\rightarrow x-vt$

とすればよいね.

$y(x , t)=A\sin\dfrac{2\pi}{\lambda}(x-vt)$ (答)

(2) 

NEKO
NEKO

波が負の方向へ移動しているので,時間$t$経つと,波は上図のように$vt$だけ負方向に平行移動するね.

数学で習った2次関数と同様に平行移動するときは,

$x\rightarrow x+vt$

とすればよいね.

$y(x , t)=A\sin\dfrac{2\pi}{\lambda}(x+vt)$ (答)

PHYさん
PHYさん

このように,$y(x , 0)$から,$y(x , t)$を導く際は,平行移動の原理を利用します.

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