上図のように，抵抗値$R$の抵抗，電気容量$C$のコンデンサー，自己インダクタンス$L$のコイルを交流電源に直列につないだ．
時刻$t$におけるAの電位が$v_{\rm R}=v_{0}\sin\omega t$のとき，次の問いに答えよ．ただし，$v_{0}>0$であり，$\omega$は角周波数である．また，電流の正の向きをA→B→C→Gとする．
(1) 抵抗に流れる電流$i(t)$を求めよ．
(2) Cに対するBの電位$v_{\rm C}$を求めよ．
(3) Gに対するCの電位$v_{\rm L}$を求めよ．
(4) Gに対するAの電位$v(t)$を求めよ．
(5) 回路のインピーダンス$Z$を求めよ．
＜解答＞
交流の問題では，最大値と位相に着目して，問題を解きましょう．
● 最大値について
回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$，流れる電流の最大値を$I_{0}$，リアクタンス（または抵抗）を$Z$とする．
このとき，次の関係が成り立つ．
$V_{0}=ZI_{0}$
$Z$は回路素子できまる．各周波数を$\omega$として
抵抗値$R$の抵抗のとき，$Z=R$
電気容量$C$のコンデンサーのとき，$Z=\dfrac{1}{\omega C}$
自己インダクタンス$L$のコイルのとき，$Z=\omega L$
● 位相のずれについて
1）電圧に対する電流の位相のずれ
抵抗：位相のずれはなし（オームの法則がいつでも成り立つ）
コンデンサー：$\dfrac{\pi}{2}$進む（電流が先に変化し，遅れて電荷が変化する）
コイル：$\dfrac{\pi}{2}$遅れる（電圧が先に変化し，遅れて電流が変化する）
2)電流に対するで電圧の位相のずれ
抵抗：位相のずれはなし（オームの法則がいつでも成り立つ）
コンデンサー：$\dfrac{\pi}{2}$遅れる（電流が先に変化し，遅れて電荷が変化する）
コイル：$\dfrac{\pi}{2}$進む（電圧が先に変化し，遅れて電流が変化する）
(1)
抵抗に流れる電流の最大値を$i_{0}$とします．
このとき，$v_{0}$と$R$と$i_{0}$には，次の関係が成り立ちます．
$v_{0}=Ri_{0}$ $\therefore i_{0}=\dfrac{v_{0}}{R}$
さらに，抵抗では，電圧と電流の位相差はありません．
したがって，抵抗を流れる電流$i(t)$は
$\eqalign{i(t)&=i_{0}\sin\omega t\\&=\dfrac{v_{0}}{R}\sin\omega t}$ (答)
(2)
(1)より，コンデンサーに流れる電流は
$i(t)=\dfrac{v_{0}}{R}\sin\omega t$
となります．
コンデンサーにかかる電圧の最大値を$v_{\rm C0}$とすると，次の関係が成り立ちます．
$\eqalign{v_{\rm C0}&=\dfrac{1}{\omega C}i_{0}\\&=\dfrac{1}{\omega C}\cdot \dfrac{v_{0}}{R}\\&=\dfrac{v_{0}}{\omega CR}}$
さらに，コンデンサーの電圧は，電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$遅れます．
したがって，コンデンサーにかかる電圧$v_{\rm C}$は
$\eqalign{v_{\rm C}&=v_{\rm C0}\sin(\omega t-\dfrac{\pi}{2})\\&=-\dfrac{v_{0}}{\omega CR}\cos\omega t}$
$v_{\rm C}=-\dfrac{v_{0}}{\omega CR}\cos\omega t$(答)
(3)
(1)より，コイルに流れる電流は
$i(t)=\dfrac{v_{0}}{R}\sin\omega t$
です．
コイルにかかる電圧の最大値を$v_{\rm L0}$とすると，次の関係が成り立ちます．
$\eqalign{v_{\rm L0}&=\omega Li_{0}\\&=\omega L\cdot\dfrac{v_{0}}{R}\\&=\dfrac{\omega Lv_{0}}{R}}$
コイルにかかる電圧は電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$位相が進んでいるので
$\eqalign{v_{\rm L}&=v_{\rm L0}\sin(\omega t+\dfrac{\pi}{2})\\&=\dfrac{\omega Lv_{0}}{R}\cos\omega t}$ (答)
(4)
Gに対するAの電位$v(t)$は，キルヒホッフ則を使って，次のように表すことができます．
$\eqalign{v(t)&=v_{\rm R}+v_{\rm C}+v_{\rm C}\\&=v_{0}\sin\omega t-\dfrac{v_{0}}{\omega CR}\cos\omega t+\dfrac{\omega Lv_{0}}{R}\cos\omega t\\&=v_{0}\sin\omega t+\dfrac{v_{0}}{R}\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\cos\omega t}$ (答)
(5)
(4)で得た式を三角関数の合成を使ってまとめましょう．
$\eqalign{v(t)&=v_{0}\sin\omega t+\dfrac{v_{0}}{R}\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\cos\omega t\\&=v_{0}\sqrt{1+\dfrac{1}{R^{2}}\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}\sin(\omega t+\phi)\\&=\dfrac{v_{0}}{R}\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}\sin(\omega t+\phi)\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}\sin(\omega t+\phi)}$
ただし，$\tan\phi=\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{R}$であり，$i_{0}=\dfrac{v_{0}}{R}$です．
回路全体にかかる電圧の最大値を$V_{0}$，電流の最大値を$I_{0}$とするとき，インピータンス$Z$は次のように決める．
$Z=\dfrac{V_{0}}{I_{0}}$
したがって，インピーダンス$Z$は
$Z=\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}$ （答)
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