<解答>
交流の問題では,最大値と位相に着目して,問題を解きましょう.
(1)
抵抗に流れる電流の最大値を$i_{0}$とします.
このとき,$v_{0}$と$R$と$i_{0}$には,次の関係が成り立ちます.
$v_{0}=Ri_{0}$ $\therefore i_{0}=\dfrac{v_{0}}{R}$
さらに,抵抗では,電圧と電流の位相差はありません.
したがって,抵抗を流れる電流$i(t)$は
$\eqalign{i(t)&=i_{0}\sin\omega t\\&=\dfrac{v_{0}}{R}\sin\omega t}$ (答)
(2)
(1)より,コンデンサーに流れる電流は
$i(t)=\dfrac{v_{0}}{R}\sin\omega t$
となります.
コンデンサーにかかる電圧の最大値を$v_{\rm C0}$とすると,次の関係が成り立ちます.
$\eqalign{v_{\rm C0}&=\dfrac{1}{\omega C}i_{0}\\&=\dfrac{1}{\omega C}\cdot \dfrac{v_{0}}{R}\\&=\dfrac{v_{0}}{\omega CR}}$
さらに,コンデンサーの電圧は,電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$遅れます.
したがって,コンデンサーにかかる電圧$v_{\rm C}$は
$\eqalign{v_{\rm C}&=v_{\rm C0}\sin(\omega t-\dfrac{\pi}{2})\\&=-\dfrac{v_{0}}{\omega CR}\cos\omega t}$
$v_{\rm C}=-\dfrac{v_{0}}{\omega CR}\cos\omega t$(答)
(3)
(1)より,コイルに流れる電流は
$i(t)=\dfrac{v_{0}}{R}\sin\omega t$
です.
コイルにかかる電圧の最大値を$v_{\rm L0}$とすると,次の関係が成り立ちます.
$\eqalign{v_{\rm L0}&=\omega Li_{0}\\&=\omega L\cdot\dfrac{v_{0}}{R}\\&=\dfrac{\omega Lv_{0}}{R}}$
コイルにかかる電圧は電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$位相が進んでいるので
$\eqalign{v_{\rm L}&=v_{\rm L0}\sin(\omega t+\dfrac{\pi}{2})\\&=\dfrac{\omega Lv_{0}}{R}\cos\omega t}$ (答)
(4)
Gに対するAの電位$v(t)$は,キルヒホッフ則を使って,次のように表すことができます.
$\eqalign{v(t)&=v_{\rm R}+v_{\rm C}+v_{\rm C}\\&=v_{0}\sin\omega t-\dfrac{v_{0}}{\omega CR}\cos\omega t+\dfrac{\omega Lv_{0}}{R}\cos\omega t\\&=v_{0}\sin\omega t+\dfrac{v_{0}}{R}\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\cos\omega t}$ (答)
(5)
(4)で得た式を三角関数の合成を使ってまとめましょう.
$\eqalign{v(t)&=v_{0}\sin\omega t+\dfrac{v_{0}}{R}\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\cos\omega t\\&=v_{0}\sqrt{1+\dfrac{1}{R^{2}}\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}\sin(\omega t+\phi)\\&=\dfrac{v_{0}}{R}\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}\sin(\omega t+\phi)\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}\sin(\omega t+\phi)}$
ただし,$\tan\phi=\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{R}$であり,$i_{0}=\dfrac{v_{0}}{R}$です.
したがって,インピーダンス$Z$は
$Z=\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}$ (答)
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