交流演習 RLC直列回路 抵抗の電圧が与えられた場合

分野別
問題

上図のように,抵抗値$R$の抵抗,電気容量$C$のコンデンサー,自己インダクタンス$L$のコイルを交流電源に直列につないだ.

時刻$t$におけるAの電位が$v_{\rm R}=v_{0}\sin\omega t$のとき,次の問いに答えよ.ただし,$v_{0}>0$であり,$\omega$は角周波数である.また,電流の正の向きをA→B→C→Gとする.

(1) 抵抗に流れる電流$i(t)$を求めよ.

(2) Cに対するBの電位$v_{\rm C}$を求めよ.

(3) Gに対するCの電位$v_{\rm L}$を求めよ.

(4) Gに対するAの電位$v(t)$を求めよ.

(5) 回路のインピーダンス$Z$を求めよ.

<解答>

NEKO
NEKO

交流の問題では,最大値と位相に着目して,問題を解きましょう.

交流と回路素子

● 最大値について

回路素子にかかる電圧の最大値を$V_{0}$,流れる電流の最大値を$I_{0}$,リアクタンス(または抵抗)を$Z$とする.

このとき,次の関係が成り立つ.

$V_{0}=ZI_{0}$

$Z$は回路素子できまる.各周波数を$\omega$として

抵抗値$R$の抵抗のとき,$Z=R$

電気容量$C$のコンデンサーのとき,$Z=\dfrac{1}{\omega C}$

自己インダクタンス$L$のコイルのとき,$Z=\omega L$

● 位相のずれについて

1)電圧に対する電流の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

2)電流に対するで電圧の位相のずれ

抵抗:位相のずれはなし(オームの法則がいつでも成り立つ)

コンデンサー:$\dfrac{\pi}{2}$遅れる(電流が先に変化し,遅れて電荷が変化する)

コイル:$\dfrac{\pi}{2}$進む(電圧が先に変化し,遅れて電流が変化する)

(1)

NEKO
NEKO

抵抗に流れる電流の最大値を$i_{0}$とします.

このとき,$v_{0}$と$R$と$i_{0}$には,次の関係が成り立ちます.

$v_{0}=Ri_{0}$ $\therefore i_{0}=\dfrac{v_{0}}{R}$

さらに,抵抗では,電圧と電流の位相差はありません.

したがって,抵抗を流れる電流$i(t)$は

$\eqalign{i(t)&=i_{0}\sin\omega t\\&=\dfrac{v_{0}}{R}\sin\omega t}$ (答)

(2)

NEKO
NEKO

(1)より,コンデンサーに流れる電流は

$i(t)=\dfrac{v_{0}}{R}\sin\omega t$

となります.

コンデンサーにかかる電圧の最大値を$v_{\rm C0}$とすると,次の関係が成り立ちます.

$\eqalign{v_{\rm C0}&=\dfrac{1}{\omega C}i_{0}\\&=\dfrac{1}{\omega C}\cdot \dfrac{v_{0}}{R}\\&=\dfrac{v_{0}}{\omega CR}}$

さらに,コンデンサーの電圧は,電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$遅れます.

したがって,コンデンサーにかかる電圧$v_{\rm C}$は

$\eqalign{v_{\rm C}&=v_{\rm C0}\sin(\omega t-\dfrac{\pi}{2})\\&=-\dfrac{v_{0}}{\omega CR}\cos\omega t}$

$v_{\rm C}=-\dfrac{v_{0}}{\omega CR}\cos\omega t$(答)

(3) 

NEKO
NEKO

(1)より,コイルに流れる電流は

$i(t)=\dfrac{v_{0}}{R}\sin\omega t$

です.

コイルにかかる電圧の最大値を$v_{\rm L0}$とすると,次の関係が成り立ちます.

$\eqalign{v_{\rm L0}&=\omega Li_{0}\\&=\omega L\cdot\dfrac{v_{0}}{R}\\&=\dfrac{\omega Lv_{0}}{R}}$

コイルにかかる電圧は電流に対して$\dfrac{\pi}{2}$位相が進んでいるので

$\eqalign{v_{\rm L}&=v_{\rm L0}\sin(\omega t+\dfrac{\pi}{2})\\&=\dfrac{\omega Lv_{0}}{R}\cos\omega t}$ (答)

(4) 

NEKO
NEKO

Gに対するAの電位$v(t)$は,キルヒホッフ則を使って,次のように表すことができます.

$\eqalign{v(t)&=v_{\rm R}+v_{\rm C}+v_{\rm C}\\&=v_{0}\sin\omega t-\dfrac{v_{0}}{\omega CR}\cos\omega t+\dfrac{\omega Lv_{0}}{R}\cos\omega t\\&=v_{0}\sin\omega t+\dfrac{v_{0}}{R}\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\cos\omega t}$ (答)

(5)

NEKO
NEKO

(4)で得た式を三角関数の合成を使ってまとめましょう.

$\eqalign{v(t)&=v_{0}\sin\omega t+\dfrac{v_{0}}{R}\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)\cos\omega t\\&=v_{0}\sqrt{1+\dfrac{1}{R^{2}}\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}\sin(\omega t+\phi)\\&=\dfrac{v_{0}}{R}\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}\sin(\omega t+\phi)\\&=i_{0}\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}\sin(\omega t+\phi)}$

ただし,$\tan\phi=\dfrac{\omega L-\dfrac{1}{\omega C}}{R}$であり,$i_{0}=\dfrac{v_{0}}{R}$です.

インピーダンス

回路全体にかかる電圧の最大値を$V_{0}$,電流の最大値を$I_{0}$とするとき,インピータンス$Z$は次のように決める.

$Z=\dfrac{V_{0}}{I_{0}}$

NEKO
NEKO

したがって,インピーダンス$Z$は

$Z=\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}$ (答)

コメント

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