今回は，次図のように，起電力$E$，内部抵抗$r$の直流電池と可変抵抗をつないだとき，可変抵抗での最大消費電力が最大になるときの抵抗値$x$を求めたいと思います．
解法としては
- 相加・相乗平均の不等式の利用
- 2乗の形を作る方法（実質，相加・相乗平均）
- $x$の関数とみて，微分をし，増減表をかく
などがあります．割と基本的な問題では，相加・相乗平均の不等式でうまく計算ができます．
まずは，上に流れる電流を$I$として，キルヒホッフ則を立てましょう．
★ キルヒホッフ則
$E-xI-rI=0$
$\therefore I=\dfrac{E}{x+r}$ $\cdots (\ast)$
オームの法則が成り立つときの抵抗の消費電力$P$は次のように計算できたね．
抵抗に電流$I$が流れたときの抵抗での電圧降下を$V$とする．
このとき，抵抗で単位時間あたりに消費するエネルギー，すなわち消費電力$P$は次のように表される．
$P=IV$
特に，オームの法則が成り立つとき，抵抗を$R$とすると，次のように変形できる．
$P=IV=I^{2}R=\dfrac{V^{2}}{R}$
ここで，可変抵抗で消費する電力を
$EI=E\cdot \dfrac{E}{x+r}$
としてはだめです!
なぜかというと，$E$は可変抵抗にかかる電圧ではなく，可変抵抗と内部抵抗にかかる電圧になっているからです．可変抵抗にかかる電圧は$E-rI$ですが，これは少し面倒なので，
$P=I^{2}x$
を使うことにしましょう．
この回路のように，どの抵抗でも同じ電流が流れているときには，電流$I$を使った消費電力の式の方が使いやすいです．
$(\ast)$より，抵抗$x$の可変抵抗の消費電力$P$は
$P=I^{2}x=\left(\dfrac{E}{x+r}\right)^{2}\cdot x$
$x$を動かしたときの$P$の最大値を求めます．少し形を変形しましょう．
$\eqalign{P&=\dfrac{E^{2}}{(x+r)^{2}}\cdot x\\&=\dfrac{E^{2}x}{x^{2}+2rx+r^{2}}\\&=\dfrac{E^{2}}{x+2r+\dfrac{r^{2}}{x}} \cdots (2\ast)}$
最後の式変形では，分母・分子を$x$で割りました．
これを相加・相乗平均の不等式を使って計算しましょう．
$a\geqq 0，b\geqq 0$の任意の$a , b$について
$(\sqrt{a}-\sqrt{b})\geqq 0$
が成り立つ．これを展開して整理すると
$a+b\geqq 2\sqrt{ab}$
となる．等号が成り立つのは，$\sqrt{a}=\sqrt{b}$すなわち，$a=b$のときである．
$(2\ast)$の分母にある$x+\dfrac{r^{2}}{x}$に着目し，$x\geqq 0$，$\dfrac{r^{2}}{x}\geqq0$なので，相加・相乗平均の不等式を使いましょう．
★ 相加・相乗平均の不等式
$x+\dfrac{r^{2}}{x}\geqq 2\sqrt{\cancel{x}\cdot \dfrac{r^{2}}{\cancel{x}}}=2r$ $\cdots (3\ast)$
さらに，$(2\ast)$の分母の形をつくるために，上式の両辺に$2r$を足します．
$x+\dfrac{r^{2}}{x}+2r\geqq 2r+2r=4r$
さらに，$(2\ast)$の形をつくるために逆数をとります．両辺とも正の数なので，逆数をとると不等号の向きが逆になるね．
$\dfrac{1}{x+\dfrac{r^{2}}{x}+2r}\leqq \dfrac{1}{4r}$
さらに，両辺$E^{2}$をかけて，$(2\ast)$の形をつくりましょう．
$\dfrac{E^{2}}{x+\dfrac{r^{2}}{x}+2r}\leqq \dfrac{E^{2}}{4r}$
$(3\ast)$の不等式からスタートしたので，等号成立は
$x=\dfrac{r^{2}}{x}$
すなわち，$x=r$のときだね．このとき，消費電力の最大値は$\dfrac{E^{2}}{4r}$をとります．
また，$(2\ast)$を次のように変形してもよいです．
$P= \dfrac{E^{2}}{x+2r+\dfrac{r^{2}}{x}}=\dfrac{E^{2}}{\left(\sqrt{x}-\dfrac{r}{\sqrt{x}}\right)^{2}+4r}$
このように変形すると，$( )^{2}$の中が0のとき，分母が最小となり，$P$が最小となることがわかります．
また，$f(x)= \dfrac{E^{2}}{x+2r+\dfrac{r^{2}}{x}} $を微分して増減表をかくことで最大値を調べることもできます．
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