底面積$S$，高さ$a$，一様な密度$\dfrac{2}{3}\rho$の円柱物体がある．
この円柱物体にばね定数$k$の軽いばねをつなげ，ばねの他端は密度$\rho$の液体の底に固定する．
はじめ，円柱物体の$\dfrac{2}{3}a$の部分は液体中にあり，$\dfrac{a}{3}$の部分は空気中にあるとき，ばねは自然長であった．
この状態から，円柱物体の上面に力加え，$\dfrac{a}{6}$だけ上に持ち上げ，静かに手をはなすと，円柱物体は単振動をはじめた．
ただし，液体および空気による抵抗は無視をし，円柱物体は鉛直方向のみに振動する．また，単振動をすることによって，液面の高さは変化しないものとしてよい．
重力加速度の大きさを$g$として次の問いに答えよ．
(1) 円柱物体の上面と液面の距離が$x$のとき，鉛直上向きの加速度を$\beta$として，円柱物体の運動方程式を立てよ．
(2) 振動の周期$T$を求めよ．
(3) 単振動の振幅$A$を求めよ．
(4) 円柱物体の最大の速さ$v$を求めよ．
<解答>
(1)
まずは，上面が液面より高さ$x$であるときの運動方程式を立ててみましょう．
その運動方程式から，振動の中心や角振動数や周期を求めることができます．
円柱物体にはたらく力は重力，浮力，弾性力がありますね．
浮力は液体に入っている部分のみはたらくことに注意です．
物体の質量を$m$，一様な密度を$\rho$，体積を$V$とする．このとき，次の関係がある．
$m=\rho V$
物体がおしのけた液体（または気体）の重さの分だけ浮力が鉛直上向きにはたらく．（重力加速度が鉛直下向きにはたらいているとき）
密度$\rho_{0}$の液体（または気体）中に体積$V$の物体があり，重力加速度の大きさを$g$とするとき，浮力の大きさ$F_{0}$は
$F_{0}=\rho_{0}Vg$
質量を$m$，加速度を$a$，物体の座標を$x$，$x_{0}$を定数，$k$を正の定数とする．
運動方程式が以下で表されている．
$ma=-k(x-x_{0})$
このとき，振動の中心は$x_{0}$，角振動数$\omega$と周期$T$は次のようになる．
$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
加速度を鉛直上向きに$\beta$としましょう．
円柱物体の質量$m$は
$m=\dfrac{2}{3}\rho Sa$
また，液体に入っている部分の体積が$S(a-x)$なので，浮力の大きさ$F_{0}$は
$F_{0}=\rho S(a-x)g$
となります．
さらに，弾性力は伸びているときを考えて，
$k(x-\dfrac{a}{3})$
★ 運動方程式
$\eqalign{\dfrac{2}{3}\rho Sa\beta&=\rho S(a-x)g-\dfrac{2}{3}\rho Sag-k(x-\dfrac{a}{3})\\&=\rho Sag-\rho Sgx-\dfrac{2}{3}\rho Sag-kx+\dfrac{a}{3}k\\&=-(\rho Sg+k)x+\dfrac{1}{3}\rho Sag+\dfrac{1}{3}ka\\&=-(\rho Sg+k)x+\dfrac{a}{3}(\rho Sg+k)\\&=-(\rho Sg+k)(x-\dfrac{a}{3})}$
したがって，答えは$\dfrac{2}{3}\rho Sa\beta=-(\rho Sg+k)(x-\dfrac{a}{3})$
(2)
この運動方程式から，振動の中心$x_{0}$と周期$T$はそれぞれ
$x_{0}=\dfrac{a}{3}$
$\eqalign{T&=2\pi\sqrt{\dfrac{\dfrac{2}{3}\rho Sa}{\rho Sg+k}}\\&=2\pi\sqrt{\dfrac{2\rho Sa}{3(\rho Sg+k)}}}$
となります．
したがって，振動の周期は$T=2\pi\sqrt{\dfrac{2\rho Sa}{3(\rho Sg+k)}}$
(3)
(2)から，はじめの状態が振動の中心であることが判明しました．
はじめの状態から$\dfrac{a}{6}$だけ上に持ち上げて，静かにはなしたので，手をはなした位置が振動の上端となります．
上端と中心の距離が振幅なので，振幅$A$は$A=\dfrac{a}{6}$となります．
(4)
せっかく，運動方程式を立てたので，単振動のエネルギー保存則を立てて速さを求めましょう．
単振動において，速度が最大となるのは，中心にいるときです．
単振動の運動方程式が
$ma=-k(x-x_{0})$
になるとき，単振動のエネルギー保存
$\dfrac{1}{2}mv^{2}+\dfrac{1}{2}k(x-x_{0})^{2}=$一定
が成り立つ．
※ $(x-x_{0})^{2}$は中心からの距離の2乗を表している．自然長からの距離ではない．
※ 上記の運動方程式を変形したものなので，摩擦力や重力がはたらいてもその仕事をいれないでよい．
★ 単振動のエネルギー保存
振動の中心における速さを$v$として
$\eqalign{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\rho Sa \cdot 0^{2}+\dfrac{1}{2}(\rho Sg+k)(\dfrac{a}{6})^{2}&=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\rho Sa \cdot v^{2}+\dfrac{1}{2}(\rho Sg+k)\cdot 0^{2}\cr \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\rho Sa\cdot v^{2}&=\dfrac{1}{2}(\rho Sg+k)\cdot (\dfrac{a}{6})^{2}\cr v^{2}&=\dfrac{\rho Sg+k}{2}\cdot \dfrac{a^{2}}{36}\cdot 3\cdot \dfrac{1}{\rho Sa}\cr v^{2}&=\dfrac{a(\rho Sg+k)}{24\rho S}\cr v&=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{a(\rho Sg+k)}{6\rho S}}}$
したがって，答えは$v=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{a(\rho Sg+k)}{6\rho S}}$
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