上図のように，水平な床の上に棒Aが床に対して垂直に固定されている．
さらに，Aと床の接触部分Oにて棒Bを床から$\theta$のなす角方向のとりつけ固定した．
ばね定数$k$の軽いばねを棒Bに通し，ばねの一端をOに固定し，他端に穴のあいた質量$m$の物体をとりつける．
ばねの自然長を$L_{0}$とする．ばねが自然長になるように物体を固定し，棒Aを角速度$\omega$でOを軸に回転させると，それにともない棒Bと物体もOAを軸に角速度$\omega$で回転した．
角速度を一定に保ったまま，固定をはずす．物体とともに軸OAまわりに回転する観測者からみると，物体は単振動をはじめた．
このとき，次の問いに答えよ．ただし，重力加速度の大きさを$g$とし，物体は摩擦力がはたらくことなくなめらかに運動できる．また，棒Bは十分長く，物体は棒Bの外に出ないようになっており，$\dfrac{L_{0}}{2}<\dfrac{kL_{0}-mg\sin\theta}{k-mw^{2}\cos^{2}\theta}$である．
(1) 固定をはずした後に，物体が単振動をするとき，，$m$，$k$，$\omega$，$\theta$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2) 単振動の周期を求めよ．
<解答>
(1)
今回も運動を方程式を立てることで，情報を読み取りましょう．
Oを原点として，OB方向に軸を$x$軸にとります．
ただし，OBはOAのまわりを角速度$\omega$で回転しています．
そのため，遠心力がはたらくことに注意しましょう．
遠心力は，次のようになります．
物体の質量が$m$，物体が軸のまわりに半径$r$，速さ$v$，角速度$\omega$で回転しているとき，物体とともに回転した観測者からみたときに，遠心力がはたらく．
遠心力の大きさを$f$とすると
$f=mr\omega^{2}=m\dfrac{v^{2}}{r}$
向きは回転軸に向かう方向と逆向き
物体がOから距離$x$だけ離れているときに，物体とともに回転している観測者からみたときにはたらく力は
重力，弾性力，遠心力，棒Bとの間の抗力
があります．これらの力を棒Bの方向に分解し，運動方程式を立てましょう．
棒Bとの間の抗力は棒B方向に垂直なので，考えなくてもよいです．
さらに，重力の棒Bの方向の力は$mg\sin\theta$，弾性力は伸びているときを考えて，Oの方向に$k(x-L_{0})$，遠心力は$mx\omega^{2}\cos^{2}\theta$です．
物体の円運動の半径は$x$ではなく，$x\cos\theta$であることに注意してください．
OからBの方向を正にとり，加速度を$a$としましょう．
★ 運動方程式
$\eqalign{ma&=-k(x-L_{0})+(m\omega^{2}\cos^{2}\theta)x-mg\sin\theta\\&=-kx+kL_{0}+(m\omega^{2}\cos^{2}\theta)x-mg\sin\theta\\&=-(k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta)x+kL_{0}-mg\sin\theta \dots (\clubsuit)}$
一見，どんな場合でも運動方程式になりそうな気がするのですが，実は
$ma=-k(x-x_{0})$
の$k$は正の比例定数ではないといけません．もし$k$が負であれば，加速度は$x$が大きくなればなるほど，$a$が大きくなるので，無限遠方にいってしまいます．
そこで，$(\clubsuit)$の式の$x$の係数部分の「-」を除いた$k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta$が正であれば単振動するというわけです．
★ 単振動する条件
$k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta>0$ （答）
(2)
質量を$m$，加速度を$a$，物体の座標を$x$，$x_{0}$を定数，$k$を正の定数とする．
運動方程式が以下で表されている．
$ma=-k(x-x_{0})$
このとき，振動の中心は$x_{0}$，角振動数$\omega$と周期$T$は次のようになる．
$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$
$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$
$(\clubsuit)$を変形すると次のようになります．
$\eqalign{ma&=-(k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta)x+kL_{0}-mg\sin\theta\\&=-(k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta)(x-\dfrac{kL_{0}-mg\sin\theta}{k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta})}$
この運動方程式の形から，振動の中心$x_{0}$は
$x_{0}=\dfrac{kL_{0}-mg\sin\theta}{k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta}$
振動の周期$T$は
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta}}$ (答)
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