<解答>
(1)
今回も運動を方程式を立てることで,情報を読み取りましょう.
Oを原点として,OB方向に軸を$x$軸にとります.
ただし,OBはOAのまわりを角速度$\omega$で回転しています.
そのため,遠心力がはたらくことに注意しましょう.
遠心力は,次のようになります.
物体がOから距離$x$だけ離れているときに,物体とともに回転している観測者からみたときにはたらく力は
重力,弾性力,遠心力,棒Bとの間の抗力
があります.これらの力を棒Bの方向に分解し,運動方程式を立てましょう.
棒Bとの間の抗力は棒B方向に垂直なので,考えなくてもよいです.
さらに,重力の棒Bの方向の力は$mg\sin\theta$,弾性力は伸びているときを考えて,Oの方向に$k(x-L_{0})$,遠心力は$mx\omega^{2}\cos^{2}\theta$です.
物体の円運動の半径は$x$ではなく,$x\cos\theta$であることに注意してください.
OからBの方向を正にとり,加速度を$a$としましょう.
★ 運動方程式
$\eqalign{ma&=-k(x-L_{0})+(m\omega^{2}\cos^{2}\theta)x-mg\sin\theta\\&=-kx+kL_{0}+(m\omega^{2}\cos^{2}\theta)x-mg\sin\theta\\&=-(k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta)x+kL_{0}-mg\sin\theta \dots (\clubsuit)}$
一見,どんな場合でも運動方程式になりそうな気がするのですが,実は
$ma=-k(x-x_{0})$
の$k$は正の比例定数ではないといけません.もし$k$が負であれば,加速度は$x$が大きくなればなるほど,$a$が大きくなるので,無限遠方にいってしまいます.
そこで,$(\clubsuit)$の式の$x$の係数部分の「-」を除いた$k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta$が正であれば単振動するというわけです.
★ 単振動する条件
$k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta>0$ (答)
(2)
$(\clubsuit)$を変形すると次のようになります.
$\eqalign{ma&=-(k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta)x+kL_{0}-mg\sin\theta\\&=-(k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta)(x-\dfrac{kL_{0}-mg\sin\theta}{k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta})}$
この運動方程式の形から,振動の中心$x_{0}$は
$x_{0}=\dfrac{kL_{0}-mg\sin\theta}{k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta}$
振動の周期$T$は
$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k-m\omega^{2}\cos^{2}\theta}}$ (答)
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